发信人: 2sinxcosx(2sinxcosx)
整理人: 2sinxcosx(2003-10-23 20:59:58), 站内信件
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纳什均衡与ess是我这两年学到得最喜欢的两个理论，下面关于这两个的解释，发现表述还困难，偏数学形式才能讲明白，得耐心看，还是很有趣的：）
1.纳什均衡
1.1二人零和有限对策之纯策率
纳什均衡是博弈论里的很重要的概念和理论，最简单的一种：二人零和有限对策，零和是指双方利益完全冲突，我的收益就是你的损失，反之亦然；有限对策当然就是指招数有限，设a方有n招，记为a1,a2,…,an ；b方有m招，记为b1,b2,…,bm，两方对局共有n*m个局势，收益形势也就有n*m个，用矩阵s={sij}n*m表示，sij表示a方采用ai b方采用bj时a方的收益，越大越好；-sij是b方的收益，对于b方sij越小越好，如下例：
..........b1....b2....b3
.....a1...-6....1.....-8
.....a2....3....2......4
.....a3....9...-1....-10
.....a4...-3....0.....6
...........a1....a2....a3....a4
......b1....6....-3....-9....3
......b2...-1....-2.....1....0
......b3....8....-4....10....-6
a方如何出招，收益最大的？
a3最大可能收益是9，那就用它行吗？那可是一相情愿，得指望对方是b1，要是b3可惨了；所以对方出什么招是很重要的，简单的方法是最小最大原则，即先考虑自己每一招最坏情况下的收益，然后再从挑出最大的那个，也就是最坏情况下的最大收益，应该是a2，最低期望收益为2，当然这是保守的方法；
对于b方则是最大最小原则，则是b2，最低期望收益为2（以sij作标准，-sij就该是-2）
你会发现两者最低期望收益是相同的，当然了，这是偶构造的特殊形式，对这样的解叫纳什均衡解；
双方愿意接受这样的结局吗？应该，达到了最低期望收益，还都一样，大家也就乐哈哈 :））；甘心吗？当然，若b方坚持用b2，你是a方，用用其它招，保管你输，若存在这样的解，对于任何一方主动脱离是会吃亏的。
1.2二人零和有限对策之混合策略
有这样解得情况并不多，如下的对策收益阵：
..........b1...b2
......a1...3....6
......a2...5....4
a方应该用a2，最低期望收益为4，也就是碰到b2；b方应该用b1最低期望收益为5，也就是碰到a2。若是这样a方的实际收益是5，比期望的多了1，很开心啊；b方虽是期望，终究不大平衡，想想既然a方用a2，何不用b2？倘若a方也想到这一层，问题就不好办了，没有一个认可的解，大家就开始斗心思。
若是可以出混合策略如何？鸡蛋不能放在一个篮子里，小孩都知道的，对于a方a1占x1、a2占x2，对于b方b1占y1、b2占y2， x1、x2、y1、y2多少合适呢？
a方的收益计算公式：x1*(3*y1+6*y2)+x2*(5*y1+4*y2)
b方的收益计算公式：y1*(3*x1+5*x2)+y2*(6*x1+4*x2)
两个式子一样，但对a方可是越大越好，b方越小越好
可解得x1=1/4,x2=3/4 y1=1/2,y2=1/2 ，收益是9/2 ，怎么解的就不讲了，敲起来费劲，可以试试当一方采用此组合，另一方不用，看看结果如何？
这就是纳什均衡，“美丽心灵”中有这一段，是纳什在舞厅里约姑娘失利后的痛苦思索得经验，我还没想明白是怎么回事
2.进化稳定对策（ess）
ess(evolutionary stable strategy)，进化稳定对策，当种群内所有个体都采取了某个对策后，其它对策者都不能侵入该种群，那么这个对策就是进化上稳定得。经典例子是鹰鸽对策，群体里当老鹰的多还是鸽子的多，比例是多少？
考虑极端情况：
若都是老鹰如何？雄赳赳，气昂昂，很威风，但却会为了利益互不相让，退让了就是鸽子，胜固然好，败了就要损失；因为偶尔原因混进一些鸽子，鸽子遇到老鹰就溜了，不吃亏，若遇到的还是鸽子，其中一方会妥协，平均上获利应是一半，这样这些鸽子不会消失，还会增多
若都是鸽子又如何？这时某个原因诞生了只老鹰，那就是要风得风，要雨有雨，老鹰就会越来越多，从上面知道，也不会都成为老鹰。
这样可以知道，在这个群体里，必定是老鹰与鸽子的混合，单一是不稳定得，老鹰与鸽子比例是由对阵的收益确定的，若对阵胜方得v，败方损失c；鹰鹰对阵，必分胜负，期望收益(v-c)/2（胜败机会相等）；鹰鸽对阵，鹰为v，鸽为0；鸽鸽对阵，一方退让，期望收益为v/2，赢得阵为：
....................鹰..........鸽
..............鹰..(v-c)/2.......v
..............鸽.....0.........v/2
这就变成寻找纳什均衡的形式了，需要注意的这不是二人零和有限对策：首先不是双方，而是一个群体中的两类，鹰、鸽；若认为是双方对阵，鹰鸽是策略，也不是零合的。但思想是相通得。
设鹰的比例是x ，鸽的比例就是1-x，当鹰和鸽的好处分别是：
鹰：x *（v-c）/2 +（1-x）v
鸽：（1-x）*v/2
两者相等才不发生转化，也即：
x *（v-c）/2 +（1-x）v=（1-x）*v/2
解得 x=v/c
也就是是说如果cv，则老鹰的比例是v/c，再多了，天天打架还不如做鸽子
附：
纳什均衡最早是从一本“运筹学”博弈论里看到得，当时只知是“二人零和有限对策”，很喜欢这个结果，后来在书店里蹭书看到一本关于麻省的幽灵的书（很可惜没记住名字，想买时怎么找也没找到，只知是一本传记），有两点给我的印象很深，一是他的臆想症，同一个我知道的人讲述的情形想近，真佩服“美丽心灵”的导演，清晰表现出这一点；另一是“二人零和有限对策”属于纳什均衡，并在几年前因此获得nobel，很是惊奇；
在经济学获得很广应用，可惜我不能做到不费劲就看懂，花时间投入也不合算；个人感觉纳什均衡带来的是观念的变革（对于西方思想），至少我现在不再把考虑最大效益作为最优，那只是一厢情愿，实现不了的
ess 在北大尚玉昌出得那本“普通（行为？）生态学”和张大勇的“理论生态学研究”都讲到，我主要看的是前者，更专业得我还没找，那位能提供？
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How can I know that you and I perceive the same thing when we both see the color red? |
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