发信人: jeter()
整理人: jeter(2000-09-09 23:22:37), 站内信件
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粒子速度
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说说讨厌的速度问题吧.
我们先从大量宣称推翻相对论的物理学爱好者容易犯的错误说起. 这类人中的
很大部分是从量子力学中找出了和相对论基本原理矛盾的的证据, 进而开始了
他们漫长的不被理解的探索过程. 他们根据波粒子二象性:
P=h*k(其实是\bar_{h})
E=h*w
以及波速的性质:
v=w/k=(h*w)/(h*k)=E/P
通过这个关系把波速和粒子特性参量(能量动量)联系在一起了.
于是他就作了下面的事情:
根据相对论, E=m*c^2+(动能项), 其中m是静止质量; P=m*v
于是就得到矛盾: v=(c/v)*c+... 远远的比光速要快.
上面的问题出在哪里呢?
问题出在波粒二象对应后, 速度v=w/k不是粒子速度, 其实这是波的相速度.
在具体介绍相速度概念之前, 先看看上面推导的另外一个荒谬处. 这回我们
不管相对论, 看看经典力学的情况. 这时候P=(1/2)*m*v^2, P=m*v, 于是根据
上面的推导, 必然有矛盾荒谬的结论:
v=(1/2)*v
如果v=w/k真的是粒子速度, 那你只好说经典力学也不正确, hehe... 实际上
问题出在(w/k)究竟是个什么东西上. 今后为了方便, 暂且以V_s表示w/k.
频率和波数都是属于波动的物理量, 那么被它们定义的V_s很显然也是表达
波动现象某种特征运动的速度. 波动的物理图象里面可以定义的速度有两
种:
1. 位相的传播速度;
2. 波形状(profile)的传播速度.
位相表示波动在时空中的简谐分布模式, 一般可以表达为一个位相因子:
Exp[i(kx-wt)]
其中Phi(x,t)=(kx-wt)就是所谓位相了.
这个东西对物理量的强度没有贡献(物理量的强度一般是求模, Exp[i(kx-wt)]
的模是
1). 位相分布在时空中, 如果你沿着时间轴考察特定位相Phi(x,y)=const.的
传播, 就可以得到速度
V_s=w/k
这就是V_s被称作相速度的原因. 同时也正是因为位相因子对物理量强度没有
贡献(因此对能量没有贡献), 于是不能成为能量信号的传播速度, 和狭义相对
论的速度限制就不是一个概念了.
波的profile传播可以携带信息. 为了讲这个概念, 必须介绍群速度概念. 涉及
一些不好输入的数学公式, 这里就简单叙述了.
想象一个初始的波形空间分布, 我们考虑从它出发未来时刻的波形演化问题.
如果我们用许丁格方程来决定这初始波形的演化, 这就是波函数的演化问题了.
薛定鄂方程决定了演化的唯一方式.
对初始波形作一个富里叶变换, 假设各个分波时间频率(频率)和空间分布
频率(波数)不独立. 如果波数k分布在某值q附近狭窄范围内, 就可以把频率
作线性展开为:
w(k)=w(q)+V_g*(k-q)
其中V_g=(d/dk)w(k) at k=q. 显然以上省略了高价项的贡献.
经过系列演算, 如果把初始波形写成
P(x)Exp[iqx]
的profile+空间相位因子的形式, 那么波函数随时间演化具有下面的形式:
P(x-V_g*t)*Exp[i(x-V_s*t)]
的形式.
以上立刻看出, profile以V_g=(d/dk)w(k)传播, 而相位以V_s=w/k传播,
两者在数学上和物理上都是本质不同的. 既然V_g表示了波形的传播, 就把
它称为群速度.
量子力学里面抛弃了物质颗粒的概念, 经典粒子速度在量子力学里就是几率
密度分布的传播速度, 也就是群速度了.
现在看看群速度是不是也会导致经典力学关系和相对论力学关系出现矛盾:
1. 经典力学.
E=p^2/(2*m)
But P=h*k, E=h*w(波粒对应),
=> w=(h*k^2)/(2*m)
于是可以求群速度: V_g=(d/dk)w(k)=(hk)/m=p/m
而根据经典力学, p/m正好就是粒子速度, 于是在波粒对应下, 我们证明了
群速度就是粒子速度, 没有矛盾.
2. 相对论.
利用相对论著名关系: E^2=c^2*P^2+(m*c^2)^2, 可以推知
(d/dP)E=(P*c^2)/E=(m*v*c^2)/(m*c^2)=v
以上m是动质量, v是相对论下的粒子速度.
但是根据波粒对应, E=h*w, P=h*k, 立刻可知:
(d/dP)E=(d/dk)w=V_g
于是再次证明, 相对论下的粒子速度正好是波粒对应下的群速度.
结束语:
以上给了一点科普, 指出波粒对应下的速度对应关系是
粒子速度<--->波动群速度.
然后证明了这个对应关系在经典力学和相对论下的谐和一致性.
介绍群速度时的关键一点是色散关系w(k)的线性展开. 如果w(k)是严格的
线性函数, 那么初始波形可以永远传播, 在量子力学几率波的情形就是
粒子的物理特征永远存在. 但是如果不是严格的线性关系, 那么这个波形
会渐渐扭曲变形, 最终完全散开. 在量子力学的几率波情形, 就是粒子的
物理特征最终消失. 通过Taylor展开的分析, 可以得出一个波形(粒子物理
特征)存在的时间上限, 大概约等于:
(m*h)/(动量不确定性宽度)^2
宏观的物体质量太大, 这个比值奇大, 所以完全没有必要考虑量子色散效应.
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