发信人: charmer()
整理人: jeter(2000-02-24 21:42:16), 站内信件
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奇怪的相对论——回大豆同志有关速度的问题
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在经典力学中，速度合成问题一点也不难理解：合成的速度是两速度的
矢量和，对于学过中学物理的人来说是个很简单的问题。可是，到了相对论
中呢？在相对论中，则需要进行洛仑兹变换。下面我们先来推导一下相对论
中的速度变换公式。
设
dx dy dz
ux = ----，uy = ----，uz = ---- (1)
dt dt dt
为物体相对于∑的速度。设∑'相对于∑沿x轴方向以速度v运动（∑和∑'是
两个参考系）。用洛仑兹变换式变换，
v
t - -----x
x - vt c^2
x' = --------------，t' = -------------- (2)
SQL(1-v^2/c^2) SQL(1-v^2/c^2)
两式微分，
dx - vdt ux - v
dx' = -------------- = --------------dt ， (3)
SQL(1-v^2/c^2) SQL(1-v^2/c^2)
v vux
dt - -----dx 1 - -----
c^2 c^2
dt' = --------------- = ---------------dt (4)
SQL(1-v^2/c^2) SQL(1-v^2/c^2)
两式相除得
dx' ux - v
ux' = ---- = ------------， (5)
dt' 1- vux/c^2
同样可以求得其他两轴的速度变换公式
dy' uy·SQL(1-v^2/c^2)
uy' = ---- = ------------------- (6)
dt vux
1 - -----
c^2
dz' uz·SQL(1-v^2/c^2)
uz' = ---- = ------------------- (7)
dt vux
1 - -----
c^2
式(5)、(6)、(7)是相对论的速度变换式。
下面讨论3个例子：
(1) 物体和∑'沿同方向运动，速度接近光速
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在大豆同志前面的文章中提到，根据上式的分母形式，假如v和ux都极接
近光速，那么物体相对于∑'的速度岂不大的会超过光速？那么我们来计算一
下。为简化问题，假设物体相对于y、z轴的速度为0，物体沿∑参考系x轴方
向的速度为0.999c，∑'沿∑参照系x轴方向的速度为0.998c，则有：
0.999c - 0.998c 0.001c
ux' = ------------------- = --------------
0.999c×0.998c 1 - 0.997002
1- --------------
c^2
0.001c
= -------- ≈ 0.336c
0.002998
由计算结果可以看出，0.336c的速度距离光速还差的远的很呢！因此，
与其看着数学表达式猜测其结果，不如动手计算一下——这至少可以避免犯
低级错误。
假设ux=a×c，v=b×c，其中a、b为小于1的系数，则我们可以从数学上
证明 (a-b) < SQL(1-ab)。无论a和b如何接近1，分子都比分母更小，因此
比值始终将小于1，所以不会出现大豆同志所说的情况。
(2) 物体和∑'沿同方向运动，速度为光速
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这次，不用计算都知道：
0
ux' = ---
0
那么在数学上0/0是什么意思呢？0/0的意思是无意义，而不是其他什么
奇怪的结论。
(3) 物体和∑'反方向运动，速度接近光速
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在大豆同志前面的文章中，几次出现以接近光速、两相向运动的物体的
速度和超过了光速的计算。那么，我们就计算一下。
假设，物体沿∑的x轴方向运动，速度为0.999c，∑'沿∑的x轴负方向
运动，速度为0.998c，则物体相对于∑'的速度为：
0.999c - (-0.998c) 1.997c
ux' = ---------------------- = --------------
0.999c×(-0.998c) 1 + 0.997002
1 - -----------------
c^2
≈ 0.9999997c
并没有出现超光速。
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在大豆同志其他的几篇帖子中，都出现了速度合成超过了光速的情况—
诸如牛郎织女相会问题，则是根本就搞错了参照系。牛郎以0.9c的速度朝织
女星飞去，而织女则以0.6c的速度朝牛郎星飞来，那么这两个速度是以什么
参照系得出的？在牛郎看来，织女相对于他的速度为0.9740c，而不会是
1.5c。
假设牛郎和织女的速度是以他们的相会地点A为参照系测得的，那么，又
假设从该参照系来看，牛郎和织女相距L，他们是否会在 L/0.974c 秒以后相
会呢？当然不是！他们将在 L/1.5c秒之后相会。
为什么会是这样呢？因为，从A点来看，他们相距L，但是从牛郎看来，
距离要短于L。从A点来看，解这个问题根本用不着进行相对论变换，只有从
牛郎或者织女的角度来计算才需要进行相对论变换——这个时候，不仅速度
要进行变换，连距离也需要根据A点的测量进行变换了：
L
L' = -------------------
SQL(1-v牛×v织/c^2)
v牛+v织
v' = -------------------
SQL(1-v牛×v织/c^2)
则，相会时间 t = L'/v' = L /(v牛+v织)，结果和用经典力学解出的
结果一样。
有关尺缩、钟缓效应的正确计算和理解，讲见我前面回复大豆的帖子《奇
怪的相对论——回大豆同志的若干问题》，在此就不重复了。
由上可知，大豆超光速的出现，要么是没有经过实际的计算仅通过主观
臆测的结果，要么是弄错了参照系，把关公和秦琼拉到了一起，然后去同项
羽结拜。
在进行需要用到相对论变换的计算中，切记需要弄清楚计算中使用的物
理量是针对哪一个参照系而言的量。
由于没有一个绝对的参照系，因此当我们谈到速度是只有针对某个参照
系而言才有意义。比如说，我们说可以用粒子加速器将粒子加速到0.999999c
的速度，那么这句话的实际意义是：我们把粒子加速到了相对于地球来说为
0.999999c的速度。假如这个粒子是一个个人主义者，它并不觉的自己有什么
不妥，相反，它会说地球在以0.999999c的速度运动。
同样地，对距离也是需要视参考系而定。所以，当我们学习完毕相对论
后，假如有一个人告诉你他身高1米8时，你就要问：“这个数字是你自己量
的还是别人为你量的？若是别人为你量的，那么就要经过洛仑兹变换了。请
回忆一下，当他为你量身高时，他相对于你的速度是多少？……” :)
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心若行云流水，不滞于物
※ 修改:．charmer 于 Feb 23 03:33:55 修改本文．[FROM: 61.134.6.151]
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.134.7.196]
发信人: jeter (云胡不归), 信区: Course
标 题: Re: 奇怪的相对论——回大豆同志有关速度的问题
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Feb 24 00:12:05 2000), 站内信件
charmer用了这么大的功夫来详细讲解相对论问题，真是可感可佩！本来
这些并不算多么新奇或者深奥的（不超过大学一年级的物理课水平），在
任何一本相对论教科书上都可以看到，不过因为考虑到毕竟大部分网友还
是很少接触这些，可能许多基本概念理解得模模糊糊甚至似是而非，所以
借此机会，既是对大豆朋友的具体问题予以解答，也是希望向其他对相对
论感兴趣的朋友普及一下基本知识。（这些话是我替charmer说的:)）
另外还有点小问题要和charmer讨论，对于下面这种情况：
: (2) 物体和∑'沿同方向运动，速度为光速
: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 这次，不用计算都知道：
: 0
: ux' = ---
: 0
: 那么在数学上0/0是什么意思呢？0/0的意思是无意义，而不是其他什么
: 奇怪的结论。
0/0在数学上是不能确定的，但此处在物理上我认为不能解释为没有意义
或不能确定，应该依然是光速c，即真空光速相对于任何参照系（哪怕是
光速参照系）都是光速c。
爱因斯坦在年轻时，就曾构思了一个理想实验——追光实验：
假设你骑在一束光上，看另一束并行的光，那会是怎样的呢？按照经典的
伽利略速度合成，另一束光应该是相对静止的，就是说这竟是一个观察者
看起来振荡不前、行而不进的电磁波。可是如果从电磁学麦克斯韦方程的
协变性来看，又不应该是这种情况。
爱翁正是由此发轫，后来通过对该问题的深入思考，结合当时的物理理论
与实验进展，终于创立了狭义相对论。狭义相对论的基础其实非常简单，
只有两条：
一、光速不变原理，指光在同一介质中的运动速度不依赖于光源、观测者
等的运动状况而改变，在真空中光速c为最大；
二、协变性原理，指物理规律在各惯性参照系中都应具有相同的数学表达
形式。
在这两条基本原理之上，即可推出洛仑兹变换等一系列相对论公式。
（这些题外话也是向大家说的:)）
【 在 charmer (一笑) 的大作中提到: 】
: 奇怪的相对论——回大豆同志有关速度的问题
: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: 在经典力学中，速度合成问题一点也不难理解：合成的速度是两速度的
: 矢量和，对于学过中学物理的人来说是个很简单的问题。可是，到了相对论
: .......
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当我沉默着的时候，我觉得充实；我将开口，同时感到空虚。
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 202.104.137.20]
发信人: jeter (云胡不归), 信区: Course
标 题: Re: 奇怪的相对论——回大豆同志有关速度的问题
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Feb 24 00:25:43 2000), 站内信件
我觉得大豆朋友现在谈论问题已经明显有所改观（我多次直言，以前那些
纯属空对空的臆想），开始围绕着数学与物理公式了，不过，看来还是并
没有真正理解其中问题。我建议大豆能结合自己的疑问（希望请暂先放下
自以为“理所当然”的答案），对照着charmer的这几篇解释，再仔细地
研读一番物理课本，这才是学习物理知识、真正理解清楚物理问题的正确
途径。否则您如果总是执意在自己想当然的路上越走越远，那么大家几乎
无法进行有意义的讨论。
我再简单补充一点解释：所谓速度极限为真空光速，这里被限制了上限的
速度指的是物质（包括实物和场）运动的实在速度，或换句话说是波学与
量子力学中的群速，至于并非实在物质运动的速度或波学与量子力学中的
相速，其大小数值是完全可以超过光速数值的（特别提请大豆朋友注意，
这里所讲的“群速”、“相速”，在物理学中都有严格定义与确切含义，
千万不要望文生义地加以附会）。举例来说，不论你在哪个参照系下测量
某一物质的运动速度，都不会超过真空光速：比如你相对于银河系静止地
测量牛郎的飞船运动、织女的飞船运动，或者在牛郎的飞船上测量织女的
飞船运动，以及在织女的飞船上测量牛郎的飞船运动，所得结果必然不会
超过光速，而相对论的计算结果是与此完全一致的。至于你在地球上，把
牛郎织女的飞船速度加起来得到的1.5c，不代表任何一个实在物体的运动
速度，仅仅是个数学之和而已，这同相对论中的速度限制根本不是一码事
儿，相对论又未限制这种“超光速”，当然无所谓矛盾了，危机更是不知
从何谈起呢。^u^
【 在 yyy111 (大豆) 的大作中提到: 】
: 可这不正说明在xyz坐标系下有t=L/1.5c 吗？
: 那么在xyz坐标系下不是已观察到了“相对”超光速了吗？
: 【 在 charmer (一笑) 的大作中提到: 】
: : 奇怪的相对论——回大豆同志有关速度的问题
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当我沉默着的时候，我觉得充实；我将开口，同时感到空虚。
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