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整理人: bsese(2000-08-16 17:22:34), 站内信件
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改造后的熵 .42.-应用.23--数学
前面对熵概念熵原理在物理学中的应用做了一些介绍。这里谈谈它们在数学中的
应用。
1. 计算与分析事物的复杂程度。我们曾经提到，一切可以计算平均值的场合都可
以利用相同的资料（实际是利用的资料更少----仅用百分比的分布，不过问变量
的取值）计算出该系统（广义集合）的复杂程度。过去我们计算（分析）过平均
值的实例太多太多了。可计算对应的复杂程度、分析对应的复杂程度的工作在多
数领域还没有进行。所以这方面等待我们做的事非常多。
2. 概率与统计是数学的重要分支。“改造后的熵”中用“广义集合”定义了“分
布函数”概念，并且把概率与统计分布看成的它的一种个例。通过最复杂原理（
最大熵原理）又把很多常用的概率分布函数的物理成因做了统一说明。这扩大了
最复杂原理的应用也推进了概率与统计知识的系统化。对于这些问题我们已经讨
论了很多。这里仅是点到为止，不再重复。
3. “（频）谱分析”是用多个振幅、周期不同的三角函数的线性组合模拟一个数
据系列（经常是时间序列）的重要方法。我国在80 年代以来的频谱分析中广泛推
广了所谓“最大熵谱分析”，它把熵原理用到谱分析中（介绍它的书比较多）。
这个方法提高了谱分析的质量。最大熵谱是最大熵原理从物理学迈向其他科学领
域的重要一步。它是20 世纪60年代在西方首先引入的方法。谱分析在分析一维的
数据系列是的成果后来被推广到两维的图象识别中。1991年由吴乃龙、袁素云著
的《最大熵方法》一书（湖南科学技术出版社，6.5元。32开本30万字）对此有比
较深入的介绍。据说这种图形识别的进步帮助了天文学家改进了他们得到的天文
照片，在天文学中取得了成绩。
4. 《最大熵方法》一书还介绍了最大熵方法如何解决一些数学计算问题的。该书
提到的有“解矩问题”、“解积分方程”和“解偏微分方程”这三个方面。
5. 如果一个未知函数在一个区间上大于大于等于零，我们也可以把它看成是一个
概率密度函数（或者说分布函数）。用统计语言说该自变量的平均值就是所谓一
阶矩。它的标准差就与二阶矩有关…顺此它还有三阶矩、四阶矩等等。人们现在
考虑这样一个问题：如果已经知道了自变量的0，1，2，…N阶矩，尽管不足以确
定该未知函数（对应于我们考虑的分布函数）是什么，但是人们可以在假定（例
如）更高阶的矩都为零的情况下，设法求这个函数。实际上补进了不同的假设就
会有不同的解。最大熵方法的思路是不硬性规定更高阶的矩为零，而是规定该未
知函数对应的熵最大（复杂程度最大）。利用这个约束和已经知道的前N个矩发展
出来的求未知函数的方法，就是用最大熵方法解这个问题的过程。它就前面说的
解矩问题。吴、袁的书给出了思路、计算步骤和个例。
6. 一个方程式中如果含有某个积分，而一个未知函数包括在该积分中，求这个未
知函数的问题就是解积分方程问题。吴、袁的书给出了一些积分方程的求解问题
可以化为前面介绍的解矩问题，并且给出了步骤和个例。最大熵方法（最大熵原
理在这里被称为最大熵方法了）居然可以处理数学难题，这确实是我们没有想到
的。
7. 物理学中经常用含有时间和空间变量的关系式描写一些运动过程。这些关系式
经常就是所谓偏微分方程。解偏微分方程，得到变量的时间与空间中变化的函数
关系是数学的一个任务。如果从一些分析中知道该未知函数也具有分布函数的一
些性质，其复杂程度（熵）随时间仅是向一个方向变化（是时间的单调函数），
可以利用熵最大这个合理的假设帮助求的未知函数。其思路也是设法把问题转为
解矩问题。吴、袁的书给的例子是热量从一个圆周上的一个点向各处扩散的物理
过程。最大熵方法帮助热传导方程揭示了热量在各个时间是如何分布在环上的，
并且显示圆环上各处的温度在最后都应当相同。
8. 数学建模是推进数学应用的重要途径。改造后的熵是否也应当进入数学建模的
事例中？我想这是应当的。我们举的一些例子可能就可以归入其中。只要研究的
系统中存在随机性，最复杂原理就应当成立。把用它建立数学模型应当有广泛的
实例。希望大家共同努力理顺这个思路并且丰富这方面的个例。
张学文00，8，14
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