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整理人: (2000-05-15 02:07:35), 站内信件
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改造后的熵 .33.-应用.14.---GAMMA分布的分析
本讲对上次介绍的Gamma 分布再做一些说明。
1. Gamma分布兼有指数分布和幂分布的特点。从Gamma分布公式看，当b为零时，
它就变成了前面介绍过的幂分布。当n=1时，它变成了前面介绍的指数分布。而它
的分布函数可以视为前两种分布的乘积。幂分布与指数分布在变量值很小时其概
率值很大，但是它们组成的Gamma的最大值却不在变量最小时而是有一个峰值比较
居中。这可能是我们主观所没有料到的。
2. 利用概率知识，我们还可以就一个服从指数分布的变量的n个合计值的概率分
布问题做研究，而且可以得到这个合计值应当服从Gamma分布。其中的n也就是Ga
mma分布中的n。这从另外一个侧面说明：变量的代数平均值固定、变量的出现概
率对应的复杂程度（熵）最大，那么n个变量的合计值应当服从Gamma分布。这也
是形成Gamma分布的物理原因的另外一种思考途径（它代替了几何平均值固定的约
束条件，证明这个结论要对一种卷积积分，这里不谈了）。
3. 一个地方的一次降雨的雨量是很不规则的，于是雨量分布对应的复杂程度应当
最大化。我们可以想到的约束就是它的代数平均值应当固定（对应与当地气候在
一定时段内不变化）。利用这两点我们前面就推出其雨量的概率分布是指数分布
（见斩乱麻问题）。根据上一段的介绍，两场雨的合计值的概率就应当是n=2的G
amma分布。三场雨的合计值是n=3的Gamma分布。如果一个月大约有4场雨，那么其
月雨量的概率分布就应当与n=4的Gamma分布很接近。而气象上的统计也确实证明
的雨量比较多的地方，其月雨量服从Gamma分布。有了我们这些认识对气象要素的
概率分布的理解就深了一个层次。
4. 水文上也对河水流量等广泛使用皮尔逊Ⅲ型分布，即Gamma分布。为什么这种
分布符合水文实际？在气候不变时（一个长时期），流量的代数平均值不变是个
合理的假设。变量的几何平均值不变对应的是变量的相对变化的平均值固定，这
符合水文现象的特点。于是对于水文现象，它满足代数平均值和几何平均值分别
固定的假设是合理的。再加上复杂程度最大化（用最复杂原理），就如上一讲那
样，我们自然得到了一个服从Gamma分布的结论。
5. 简而言之，一个广义集合（如一批水文观测数据），如其代数平均值和几何平
均值应当是受约束的（有固定值的），当承认其复杂程度应当最大，其分布函数
就应当是服从Gamma分布。当我们证实一批资料符合Gamma分布时我们高兴，当我
们用最复杂原理配合代数平均值几何平均值合理地说明了它也就是应当服从Gamm
a分布时，我们的工作就从现象（经验方程。唯象方程）向理论深入一步。
6. 现在的统计书介绍Gamma分布的也不少，但是利用熵原理（最复杂原理）说明
它的物理背景的几乎没有（也许我见识少）。我认为应当把这一层认识介绍给统
计教科书的作者。
张学文2000，5，14
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