发信人: xjzhangxw()
整理人: (2000-05-04 00:18:37), 站内信件
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改造后的熵 .32.-应用.13.---GAMMA分布的物理成因
连续型的分布函数f（x）符合
f(x)=[(b^n)/(n-1)!][x^n-1]exp[-bx]
关系时，这个概率密度函数称为Gamma分布, 它也是著名的皮尔逊概率分布函数簇
中的重要一员，称为皮尔逊Ⅲ型分布。它有一个单峰但却是左右不对称的一种概
率分布函数。在自然界中服从这种分布的现象也不少。由于这种分布对自变量要
求有一个大于等于零下限，拟合资料时又比正态分布有比较大的弹性，在我国的
水文界广泛用皮尔逊Ⅲ型分布来模拟水文数据系列。据说水文技术主管部门还规
定必须用它模拟数据。
这些做法大都出于一种经验认识：它符合实际。对于它为什么适合一些资料没有
多追问。我们现在可以利用最大熵原理配合必要的约束条件从理论上推导出其概
率必然是Gamma分布。
如果一个必然大于零的随机变量（如河水的流量）其代数平均值和几何平均值都
是常数，并且它出现什么值的不确定性（结局的复杂性）最大，我们不难利用与
前面类似的方法推导出它必然是Gamma分布。
下面从最大熵原理推导其公式
所谓利用最大熵原理仍然体现在对概率密度分布函数f(x)下面的积分应当达到最
大值
H=-∫f(x)lnf(x)dx (1)
以上积分应当遍及x的一切值，所以它应当从0积分到正无穷大。另外概率分布的
所有x值的积分应当成为必然事件，即所谓概率的归一性，应当有
∫f(x)dx=1 (2)
这是必然成立的一个约束，此外我们限定x的代数平均值为常数a 。即
∫xf(x)dx=a (3)
在概率论中知道，一个变量的代数平均值固定了，其几何平均值还会有不同的值
（都小于等于代数平均值）。这里我们再限定其几何平均值是另外一个不变量。
这个话等价于变量的对数的平均值是另外一个变量v 。于是有
∫lnxf(x)dx=v (4)
仿着前面的做法，定义一个新函数F，它由（1）+k1（2）+K2（3）+K3（4）组成
--k1,k2,k3 都是常数，即
F=H+K1[∫f(x)dx-1}+k2[∫xf(x)dx-a]+K3[∫lnxf(x)dx-v]
熵H最大，也就是F最大，将上式对f求偏微商，F最大就是此偏微商为0，于是得到
f(x)=exp[k1-1+k2(x)+k3(lnx)]
经过整理，可以得到
f(x)=[exp(k1-1)](x^k3)[exp(k2x)] （5）
（5）已经是求得的分布函数了。由于各个k都是一些常数，所以这个公式说明分
布函数是幂函数与指数函数的乘积。它与本讲最初给出的Gamma分布在外型上已经
是一样了。
另外，注意到指数函数与幂函数的乘积的一般定积分可以从积分表上查得下面公
式：
∫(x^n)[exp(-kx)]dx=Г(n+1)/k^(n+1)
这里的Г指所谓Gamma函数，在n为正整数时Г(n+1)=n！（n的阶乘）
把（5）带入（2），注意上面的一般公式，我们得到
f(x)=[ k2^(k3+1)/Г(k3+1)] (x^k3)[exp(k2x)]
这个公式已经与最初给的Gamma分布函数很一致了。公式中的k2，k3都是要从约束
条件（3），（4）公式中去求。其具体计算是数学问题，较为麻烦，这里就不谈
了。但是我们已经从这个推导中看出：
在一个广义集合（客观事物、系统、抽样实验）中如果变量（标志值）的代数平
均值和几何平均值是不变的，而其复杂程度（熵）最大，那么各个个体出现各种
标志值（变量的各种取值）的出现概率（占的百分比）必然是概率论中介绍的所
谓Gamma分布（皮尔逊Ⅲ型分布）。
这样我们就利用最复杂原理（最大熵原理）说明了Gamma分布的物理成因。
张学文2000，5，4
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