发信人: xjzhangxw()
整理人: (2000-04-15 17:08:51), 站内信件
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改造后的熵 .30.-应用.11.---对数正态分布
上一讲介绍了从最大熵原理（最复杂原理）推导出著名的正态分布的过程。本讲
介绍一个类似的问题：从最大熵原理推导出对数正态分布函数。
所谓对数正态分布是指其概率密度的分布函数满足下面的关系
f(x)=[1/(xb√2π)]exp{[-(lnx-a)^2]/2b^2}
公式中x>0
上面公式与正态分布公式很类似。但是原来的常系数部分现在在分母上多了一个
自变量x，另外，在指数部分的x处现在变成了该变量的对数值了。再应当补充说
明的是这里的常数a，b 的含义有变化。a是变量x的对数的平均值，b 是变量x的
对数的标准差。这里对变量x也有新要求，即它必须是大于零的数。f(x)就是观测
值x出现于X-0.5到x+0.5 范围的概率。
下面从最大熵原理推导这个公式
所谓利用最大熵原理仍然体现在下面的积分应当达到最大值
H=-∫f(x)lnf(x)dx (1)
以上积分应当遍及x的一切值，所以它应当从0积分到正无穷大。另外概率分布的
所有x值的积分应当成为必然事件，即所谓概率的归一性，应当有
∫f(x)dx=1 (2)
这是必然成立的一个约束，此外我们限定x的对数的标准差b应当是个不变量。即
∫[(lnx-a)^2]f(x)dx=b^2 (3)
另外我们再补充一个约束条件，即变量的对数的平均值为常数a，即还有
∫lnxf(x)dx=a (4)
与正态的约束比，（4）是新增加的约束，（3）是略做修改的约束。
仿着前面的做法，定义一个新函数F，它由（1）+k1（2）+K2（3）+K3（4）组成
--k1,k2,k3 都是常数，即
F=H+K1[∫f(x)dx-1}+k2[∫[(lnx-a)^2]f(x)dx-b^2]+K3[∫lnxf(x)dx-a]
熵H最大，也就是F最大，将上式对f求偏微商，F最大就是此偏微商为0，于是得到
f(x)=exp[k1-1+k2(lnx-a)^2+k3lnx]
利用（2）、（3）、（4）这些约束关系可以解出三个常数k1,k2,k3，经过整理就
得到
f(x)=[1/(xb√2π)]exp{[-(lnx-a)^2]/2b^2}
它显然就是最初介绍的对数正态分布函数。于是我们完成了从熵原理配合（2）、
（3）、（4）这些约束，证明对数正态分布的任务。
约束（3）、（4）也说明了a，b 的物理意义分别是变量对数的平均值和它的标准
差。这些约束的物理意义也帮助我们判断那些变量可逆符合对数正态分布。下一
讲介绍一个例子：汉字笔画的数学美。
张学文2000，4，14
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