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整理人: (2000-03-17 08:18:38), 站内信件
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改造后的熵 .27.-应用.8.---分数维与幂分布（2）
关于分数维与幂分布我们再补充说说
1. 最复杂原理配合代数平均值不变的约束对应负指数分布，配合几何平均值不变
就对应幂分布。这是得到的结论。于是人们问如何判断一个物理系统（广义集合
）中其平均值不变是指代数平均值还是指几何平均值？
一般而言，代数平均值不变都与总量不变等价。斩乱麻问题中的原线的总长度不
变是很明显的约束条件。在那里你无法推断其该事物具有几何平均值----也就是
各个变量相乘后再开方，不变的特点。在统计物理学中，平均值不变常常对应着
总能量不变。
对于几何平均值，首先要求变量必需是大于零的量。如果一个变量的值是0，或者
是负的，就造成了无法开方，或者无法取对数的问题。变量要大于0是个有深刻物
理意义的要求。所以当你假设一个变量的几何平均值不变时，最低的要求是它仅
能取正值。
2. 如果把幂分布函数的两边取对数，再取微分，可以得到
dlnf(x)=bdlnx
注意到对数的微分有变量微分与原量的比值的含义, 即
dlnx=dx/x ,dlnf(x)=df/f
所以 [(df/f)/(dx/x)]=b
我们可以从这个公式中看到分布函数的相对变化（即df/f）与变量的相对变化dx
/x 成线性关系（不是与变量本身成线性关系！）。把它翻译为物理语言就是该系
统有自相似性质。
自相似性则是分数维的重要性质。说得再通俗一些就是如果某系统（广义集合）
中不同标志值（变量）的个体占的比例是相同的，它的几何平均值就可能是不变
量。
大约50 年前，人们在生态系统中提出了食物链中的生物的所谓十一律，形象地说
就是大鱼的数量是小鱼的数量的1/10，而小鱼的数量又是虾米数量的1/10。 大约
10年前我分析地球上不同体重的生物的数量各有多少，从少量的数据中也引出了
类似的规律（鲸的数量最少，而病毒的数量最多）从相对比例是常数的角度自然
引伸出幂分布。
我们愿意为分型研究发现的大批幂函数分布而鼓掌，我们也希望他们注意到最复
杂原理可以为其中不少幂分布做出统一的物理学说明。认识到这些对双方都有好
处。
大批自然与社会现象中的的幂分布函数的存在说明最复杂原理在广泛的领域约束
着客观事物。遗憾的是这些知识在我们原有的知识框架中没有立足之处。
张学文于2000/3/15
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