发信人: xjzhangxw()
整理人: (2000-03-17 08:18:14), 站内信件
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改造后的熵 .26.-应用.7.---分数维与幂分布（1）
20世纪70年代出现了所谓分型几何学（分数维），80年代传入我国。分型几何学
以新的眼光分析事物，可以横跨众多的学科，形成了一股学术新思潮。它与其他
一些新学科一起撼动着牛顿时代以来的科学分类体系。
Mandebort 是这个新学科的旗手，他们最早提出了自然界不仅存在一维的直线，
两维的平面、三维的立体，还存在维数是分数的所谓分数维。海岸线的维数界于
1-2之间就是他们提供的一个例子。分数维意味着两个量X，Y之间存在着幂函数关
系,即Y=aX^b--用^这个符号表示幂是因为我们的软件不支持一些数学常规书写格
式。而这里的b可以不是正整数。把数学上早已知道的幂函数戴上了一顶半物理学
的新帽子--分数维，它竟然激起了人们的新兴趣。于是人们在各个领域寻找幂函
数关系，并且宣布我发现了某某领域的分数维！这种努力打破了原有的科学分界
，推进了科学发展。
除了海岸线之外，人们发现月球上不同直径（X）的陨石坑各有多少（Y）、地球
上（或者某个区域）不同长度的河流（X）各有多少（Y）、英语社会中不同长度
（字母的数量）的英文单词（X）各有多少（Y）、一个国家中不同人口的城市（
X）各有多少（Y）等等等等都服从幂函数关系Y=aX^b。在分数维的旗下，在这么
多学科中找到类似的数学规律，这是它的一个功绩。
分数维研究以发现这些幂函数而喜。但是为什么幂函数在自然界和社会界的现象
中普遍存在？其物理原因是什么？分数维研究，并没有统一回答这个问题。
现在我们要用最复杂原理对分型几何学揭示的某些幂分布函数做物理说明（可惜
物理学的分类中容不下非热力学的熵原理！）。
过去我们分析过斩乱麻问题，在利用最复杂原理求其分布函数时还利用了一个约
束条件，就是切割麻线时线的总长度是不变的。这个约束实际上等价于求解时要
求变量（标志值）的平均值不变。
在数学上那里所谓的平均值实际是算术平均值，而我们还可以有其他类型的平均
值。我们发现把算术平均值不变改为几何平均值不变，我们得到的分布函数就从
原来的负指数分布变成了幂函数分布了。
如果一个广义集合的个体总量是N，标志值为连续型的变量，其分布函数（指分布
密度函数）是f(x)。复杂程度C是
C=-∫f(x)[lnf(x)/N]dx---（1）
个体总量N应当是
N=∫f(x)dx---（2）
几何平均值m的含义是N个体的标志值（变量）的连乘积再开N次方。在离散情况下
的计算公式是
(m的N次方)=[(x1)^n1][(x2)^n2]…[(xi)^ni]
这里的ni是标志值为xi 的个体的个数。把上式两边取自然对数，有
Nlnm=n1lnx1+n2lnx2+…nilnxi
对于连续变量，其几何平均值应当与上式类似，即有
Nlnm=∫f(x)lnxdx---(3)
如果研究的广义集合本身存在随机性，那么其复杂程度C应当自动达到最大值。对
于本问题，它还要求满足条件（2）和（3）。根据拉格朗日方法，用K1，K2分别
乘（2），（3）式再与（1）相加得一个新的函数F
F= -∫f(x)[lnf(x)/N]dx-+K1[∫f(x)dx-N]+K2[∫f(x)lnxdx-Nlnm]
把上式对f求偏微熵，并且令它为零，我们得到
f(x)=ax^Nk2
这里的a是一个与N，K1有关的常数，由于K2是一个常数，所以分布函数f（x）与
变量x之间就是幂函数的关系。（K1，K2与约束条件的关系不具体计算了）
以上计算已经说明在几何平均值不变的约束条件下，利用最复杂原理必然得到分
布函数与变量之间为幂函数关系。
分型几何学研究揭示了自然界有很多幂函数关系（如前面提到的月亮上的坑、河
流长度、英文字的长度等等），其中有不少就是指分布函数（符合“不同的标志
值各有多少”的模型）恰为幂函数。最复杂原理现在告诉我们自然界存在这种幂
函数的原因就是该广义集合一方面自动处于最复杂状态，一方面遵守几何平均值
不变的约束。明白了这种内在约束关系也就明白了幂分布的形成原因了。
所以我们用最复杂原理（最大熵原理）解释了一批幂分布的物理原因。
张学文于2000/3/15
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