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整理人: bsese(2000-02-15 12:27:11), 站内信件
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改造后的熵 .23.-应用.4.---负指数分布
从现在开始我们讨论最复杂原理一些具体应用。这里以最复杂原理配合不同的约
束条件得到不同的分布函数为主线，另外有些半定性说明。
在介绍原理部分的时谈了拉格朗日方法还举了斩乱麻问题的例子。得到了不同长
度的乱麻的数量服从负指数函数。本讲是该问题的一般化，讨论分布函数恰为负
指数函数的问题（希望读者复习斩乱麻例子）。
在斩乱麻问题中乱麻的各个线段的长短自动呈现最混乱的状态，也就是复杂程度
自动得到它力所能及的最大值---所以最复杂原理（最大熵原理）有效。同时我们
还利用了一个十分明显的约束条件，即所有的乱麻的线段的长度的合计值等于原
来的线的长度L。由此得到了不同长度的线段与其占有的个数之间为负指数函数关
系。即一堆乱麻（一个广义集合）的分布函数是负指数函数。
斩乱麻仅是一类问题中最容易理解的一个例子，很容易把它推广到更多的场合中
去。
一个瓶子里装着某种单原子的气体，当它的温度一定时这些分子所具有的总能量
（分子的动能）也就是个常数（不变量）。承认分子的运动自动处于最复杂状态
（熵最大，满足最复杂原理），那么具有不同能量的分子各有多少的问题就是一
个典型的分布函数问题。由于本问题中的约束条件（各个分子的能量的合计值为
不变量）与斩乱麻的约束条件的数学结构相同，它应当得到与斩乱麻问题相同的
解，即其分布函数应当也是负指数分布。大家在统计物理学中知道它也就是著名
的玻尔兹曼分布。斩乱麻问题现在推广到了分子能量问题上了。
大气系统在把雨水撒向地面时（下雨）不可能向农民浇地那样让每个地方得到的
水量都相同。更妥当的假设是它以最复杂最任意的方式把一定量的雨水撒向地面
（承认随机性）。“最复杂最任意”就是复杂程度最大（最复杂原理有效）；“
一定量的雨水”就是与斩乱麻问题中的线的长度不变，或者“玻尔兹曼分布”中
的总能量不变对应的约束。据此很容易得到雨水在地面上的分布应当满足负指数
关系。笔者正是通过验证了很多个雨量的地理分布符合负指数关系加深了对这个
原理的认识的（可以看本人的个人主页中的对应文章，如降水统计力学部分）。
上面这两个例子说明约束条件是某个物理量的总量不变（线的长度、分子的能量
、降到地面的总雨量）配合该问题中应当体现最复杂原理，就可以得到一个含义
不同而形状相同的负指数公式。它分别描述不同的物理问题中的某个广义集合的
分布函数。
我们这个已经凉了下来的地球并不平静，地球内部还以地震的形式时不时地向外
散布其能量。在一定的地质时期可以认为它散布能量的总量（或者平均值，它们
是等价的）是一定的，如果还认识到能量的释放有随机性，最复杂原理有效（即
以最任意的方式产生地震），那么每次地震的强度不可能都相同。此时它也符合
斩乱麻的模型，不同地震震级的出现次数也服从负指数分布（多数地震的震级很
小而少数的震级很大）。50年前地震研究发现的事实确实如此。
一些报道把市场比为一块蛋糕，在计划经济下它被计划者切成了若干块，在市场
经济下就由一群竞争者去抢夺。每个企业抢到相同的份额的可能性非常小，抢夺
结果自动呈现最复杂的可能最大，即最复杂原理应当适用。其结果是利润大的企
业少利润很小的企业很多，利润额与企业个数恰好是负指数的关系。
在自由竞争的条件下社会财富被竞争者去抢夺，每个人抢到的财富都相等的可能
性是非常小的，妥当的是假设满足最复杂原理，其结果就是财富在人群中呈现负
指数分布，它也就是马克思说的多数人穷很少数人很富。
统计力学中玻尔兹曼分布当然也是重要的例子，但是我们不再专门细讨论了（大
家不难在有关书籍中找到介绍）。
斩乱麻模型可以用到很多事例中。有心的读者只要理解相关的概念（广义集合、
分布函数、复杂程度）、最复杂原理和类似的约束（后面会看到有些约束不同）
估计也可以不必做数学推导就可以猜出了一些分布函数。从理论上说明一个分布
函数在科学上就是一个成绩，希望读者自己也利用最复杂原理得到一个或者多个
分布函数。
负指数分布函数的一些数学性质和函数图形等等大家可以在数学书上看到，这里
的网页不便表示图形，就不细谈了。
张学文于2000/2/14
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