发信人: xjzhangxw()
整理人: (2000-01-07 01:04:12), 站内信件
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改造后的熵 .17.-原理.5.-拉格朗日方法（1）
前面讨论了热力学第二定律的实质是系统中存在随机性导致高概率的状态容易出
现。它说明熵原理是“高概率的事件容易出现”这个浅显道理的体现。对熵原理
的认识思路的改造有利对它的理解与推广。
前面半定量的分析在概率最高与复杂性最大之间建立了正相关的关系。还引出了
利用复杂性最大求分布函数的思路。它也就是最复杂原理的重要应用。
在平面上有一条封闭的线绳，问线绳呈现什么形状时，它包围的面积最大？墙上
两个钉子上有一段绳子，问绳子呈现什么形状时，它的位能最大？这都是利用极
值求一个未知函数的问题。已知复杂程度最大求它对应的分布函数问题与前面讨
论的两个绳子问题类似。我们的目标也是利用极值反求一个函数（或者已经知道
函数求自变量在什么情况下使函数值最大、小）。
解这类问题的一般方法是所谓“拉格朗日乘子方法”。其优点是可以配合不同的
约束条件得到不同的解（约束问题是最复杂原理应用中非常重要的一环）。这个
方法在一些理工科大学的数学书有介绍。这里简单介绍一下拉格朗日乘子方法。
（参考了王彬在《熵与信息》书中写法，高等学校教材，西北工业大学出版社，
1994）
欲求n元函数f（x1，x2，…，xn）在如下m个约束条件（m<n）
y1(x1,x2,…,xn)=0
y2(x1,x2,…,xn)=0
…
ym(x1,x2,…,xn)=0
下的极值（大小），即找出各个x分别取什么值时f达到极值，可以用1，C1,C2,…
Cm 这些常数顺次乘f,y1,y2,…,ym, 并且把它们加起来，就得到了一个新的函数
F（大写）。注意到关于y的各个函数都是零，所以新函数F达到极值与原函数f所
要求的自变量（各个x值）的值是相同的。
F(x1,x2,…,xm)=f(x1,x2,…xm)+c1y1(x1,x2,…)+c2y2(x1,…)+…+cmym(x1,…,
xm)
函数F既然是各个x的函数，它达到极值时必然是对各个自变量x的偏微商分别等于
零（由于仅能用文本文件形式表述，偏微商符号没有办法表示，这里都用微分符
号d代替了）。根据这个分析，我们就得到n个新的方程
（dF/dx1）=0=(df/dx1)+c1(dy1/dx1)+c2(dy2/dx1)+…+cm(dym/dx1)
….
（dF/dxn）=0=(df/dxn)+c1(dy1/dxn)+c2(dy2/dxn)+…+cm(dym/dxn)
这n个方程式连同约束条件给的m个方程式已经可以解出n+m个未知数。它们就是n
个x（即x1,x2,…,xn）和m个C (即c1,c2,…,cm)。于是我们就得到了这个函数的
极值。可以看到约束条件不同，得到的各个x值也不同。这样拉格朗日方法就十分
巧妙地把约束条件放进了解方程式的过程中了。我这数学的外行人不得不佩服数
学家的高明！--拉格朗日方法就这么简单地介绍完了。
下面用王彬给的一个例子说明它的应用
求表面积为a的平方而体积最大的长方体。
设长方体的三个棱长为x，y，z，则其体积为
f(x,y,z)=xyz
本问题中仅有一个约束条件，就是表面积为a的平方，它可以写成
2xy+2xz+2yz-(a的平方)=0
制造一个新函数F，并且放进一个未知的常数C有
F=xyz+C(2xy+2xz+2yz- a的平方)
令其对x，y，z的三个自变量的偏微熵分别为零，得到三个新方程式：
yz+2C(y+z)=0
xz+2C(x+z)=0
xy+2C(x+y)=0
因为自变量仅可能是正数，把上面的式子相除得
(x/y)=(x+z)/(y+z)
(y/z)=(x+y)/(x+z)
由此得出各个自变量的值要相等，再由约束条件得到它们的值是
x=y=z=(a/√6)
这个结果说明表面积固定的长方体的体积最大的形状是正方体。它与我们的一般
认识相符。
这个方法用于最复杂原理上的情况，它的结果与约束条件的各种关系等等后面要
逐步讨论。
张学文1999/12/17
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