发信人: xjzhangxw()
整理人: bsese(2000-01-07 00:56:32), 站内信件
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改造后的熵 .2.
----概念.1.广义集合.1.
前面指出"改造后的熵"主要包含三部分：概念、原理和应用。其概念部分包含：
广义集合、分布函数和复杂程度三个基本概念。本讲介绍广义集合。
* 问题
"改造后的熵"要研究自然和社会上的客观事物。如何科学、有效、定量的概括它
们？哲学家对客观事物的描述过分抽象和定性，科学家对它的描述又过分专业一
致不同学科间很少交往，数学家给的集合概念对描述客观事物又不够得力，这里
引出的广义集合概念通用于各个学科又是符号化定量化的概念。它为各个学科提
供了有力统一科学的语言。
* 集合概念的`不足
集合是数学中的基本概念之一。它为描述客观事物提供了清晰又符号化的语言。
但是它主要用于数学中。在物理化学等物质科学中用的少。造成这种局面的一个
原因是集合概念仅分析不同的元素不分析相同的元素的数量多少。例如一果盘中
有苹果、梨和香蕉，用A表示这个集合，就说集合A有三个元素：苹果、梨和香蕉
，并写成A={苹果，梨，香蕉}形式。集合语言是描述了盘子里有什么内容，但是
它没有能力描述盘子里苹果、梨和香蕉各有多少个。
广义集合概念是对集合概念的扩展，它不仅描述集合内有那些不同的（元素）事
物还描述相同的事物有多少。例如，我们也用符号A表示广义集合，当它描述果盘
内容时写成A={苹果（3），梨（2），香蕉（4）}。这里括弧中的数字表示该个体
的数量（数量为1时可以省略括弧），即盘里有三个苹果两个梨四个香蕉。于是广
义集合不仅可以描写一个集体（总体、系统）内有那些不同的成员也能描写相同
的成员有多少。
广义集合与集合的差别仅在于此。
* 广义集合
广义集合就是由多个（地位相同的）个体组成的一个总体，这些个体的某种特征
（标志）会不尽相同。每个个体的具体特征称为标志值。
以上是广义集合的定义。
这里提出了个体的概念，并且认为广义集合由多个地位相同的个体组成。如前面
的果盘中我们首先承认它有9个水果，而且它们地位相同。而把水果的品种称为标
志，把具体的苹果、梨、香蕉分别称为个体的标志值。
集合可以描述一个班的学生的年龄有10岁、11岁、12岁三种，但是它不回答各种
年龄的学生各有多少。广义集合说这个班有10岁的8名11岁的10名12岁的7名。现
在每个学生都是一个地位相同的个体。年龄则是标志，而11岁、12岁等是个体的
标志值。它可以表示为A={10岁（8），11岁（10），12岁（7）}。显然全班共有
25的学生。
水分子由氢2氧1组成，它是一个广义集合。这也提示我们所有的化学分子都可以
看成是明确的广义集合。而化学家已经找出上百万种化合物。所以在化学里就有
上百万种广义集合。
下表再列一些例子。
广义集合名称 个体是什么 标志是什么 不同标志值的个体示例
一盘水果 每个水果 水果品种 苹果、梨等
全班学生 每个学生 学生年龄 10岁、12岁等
地球上的国家 每个国家 国家人口数 12亿、2亿、5千万等
一个水分子 每个原子 原子的名称 氢原子、氧原子
中国的国土 每平方公里国土 当地的海拔高度 海拔为5000米、海拔为20米等
一片地里的西瓜 每个西瓜 西瓜的重量 3公斤、4公斤等
上表表示广义集合概念可以用于不少学科。后面就看到广义集合在描述各种自然
现和社会现象中广为应用。
* 说明与问题
1. 有人问？集合概念中的“元素”那里去了，回答是，不同的标志值对应于集合
概念中用的元素一词。做这种名称上的改动的原因是我们认为个体概念更基本，
而它应当占更高的地位。（如何取名还可以讨论）。
2. 当每个个体的数量都是1时，广义集合就退化为集合。所以集合是广义集合的
特例。
3. 广义集合还有没有其它的更好的符号化的表示方法？这有待在使用中逐步明朗
。
4. 广义集合也象集合那样有并、交、笛卡尔积的运算，它满足结合律、交换律、
分配律吗！这些问题先放着。也欢迎读者去探索。洋人不是在集合论中盖了很多
楼阁吗，广义集合里不会荒凉。它等待垦荒者。
在一些场合明确一个广义集合这也不是件容易事，有时做好这一步本身就是很大
的成绩！但是初次做一定要很小心。后面要逐步列举出大量的广义集合的例子，
以说明这个概念可以方便地用于社会科学和自然科学中。
欢迎读者自己举两个广义集合的例子看看。
张学文，1999/6/23
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