发信人: charmer()
整理人: jeter(2000-02-19 22:24:13), 站内信件
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EPR的故事 -- 6. Bell出场
1964 年,J.S.Bell 在Physics I 上发表了一篇论文,指出任何企图保持 Einstein定域性原则的隐变量理论都将不能和量子力学相容.这是著名的 Bell 定理.Bell 利用Bohm 的单态粒子对实验推导了一个不等式,说明 了定域性隐变量理论的相关性(correlation)和量子力学是不同的.
假设如同前面Bohm 的实验装置,A, B 侦测器可以被安排成测量a, b, c 三个不同方向的自旋分量.a, b, c 三个方向是任意的,不需要互相垂直, 甚至可以在同一个平面上.
如果,粒子从发射器出发之时已带有某种「密码」(这是定域性隐变量理论所 预期的),如(a+,b+,c-), 代表了粒子进入a 方向的侦测器结果将是正的,b 方向结果也是正,而c 方向结果为负.由于两个粒子自旋方向相反,这样的组 合共有八种,如下所示: 粒子1 粒子2 N1 (a+,b+,c+) (a-,b-,c-) N2 (a+,b+,c-) (a-,b-,c+) N3 (a+,b-,c+) (a-,b+,c-) N4 (a-,b+,c+) (a+,b-,c-) N5 (a+,b-,c-) (a-,b+,c+) N6 (a-.b+.c-) (a+,b-,c+) N7 (a-,b-,c+) (a+,b+,c-) N8 (a-,b-,c-) (a+,b+,c+)
重复这样的实验N 次,设各种情况出现次数分别是N1, N2,... N8. 自然的, N1+N2+......+N8 = N.
令P(a+,b+) 表示A 侦测器在a 方向测得结果为正,B 侦测器在b 方向测得结 果为正的机率.而P(b+,c-) 表示A 侦测器在b 方向测得正,B 侦测器在c 方向 测得负的机率,等等.例如,P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N.
现定义a, b 方向的相关程度系数E(a,b) 为
E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+)
注意到E(a,b) = E(b,a).它代表了A, B 侦测器在a, b 两方向测量结果的相关程 度.例如,在a=b 时,P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/2, 因此 E(a,a) = -1. 这表示说若A, B 侦测器被安排成测同方向的自旋分量,所得结果 必定相反.又如,a=-b, E(a,-a) = 1, 即A, B 的结果必相同.如果a 和b 相互垂 直,则P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4, 所以E(a,b) = 0. 这 是说如果两侦测器所测的方向互相垂直,则两者的结果没有任何相关.由此可见这个 定义符合我们对「相关」的直觉含义. 根据定义,我们有 E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N 同理 E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N
E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N 现在因为Ni (1≤i≤8) 都是大于等于零的整数,因此 2(N3+N6-N2-N7) ≤2(N3+N6+N2+N7)
两边加上N1+N4+N5+N8, 得 2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≤N3+N6+N2+N7+N 同除以N, 得 2(N3+N6-N2-N7)/N ≤(N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1
我们发现不等式右边即是E(c,b) + 1, 而左边是 E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N 同理, -E(c,b) - 1 ≤E(a,b) - E(a,c)
因此 |E(a,b) - E(a,c)| ≤1 + E(c,b)
这就是著名的Bell 不等式.这对任意方向的a, b, c 而言都成立.
现在,让我们来看看Bell 不等式和量子力学的预测是否相符.我们要以量子 力学的方法去计算P(a+,b+), P(a+,c+) 以及P(c+,b+). 令S.a, S.b, S.c 的本徵 态分别是|a+>,|a->, |b+>,|b-> 和|c+>,|c->. 例如,要计算P(a+,b+), 我们假设粒子1 进入a 方向的侦测器得到结果为正(这机率显然是1/2). 因此,粒子2 必将处于 |a-> 的状态.在B 处我们测量粒子2 的b 方向自旋分量.按量子力学,我们 必须将|a-> 按|b+> 和|b-> 展开.如果a, b 两方向的夹角是θab, 那么结果是 (up to a phase constant)
|a-> = sin(Beta/2 )exp(-iAlpha/2)|b+> - cos(Beta/2)exp(iAlpha/2)|b->
所以,粒子进入b 方向侦测器得到结果是正的机率是
sin2(θab/2)
因此
P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2
同样的
P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2
以及
P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2
所以
E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a.b
同理
E(a,c) = -cosθac, E(c,b) = -cosθcb
根据Bell 不等式,我们得到
|cosθac - cosθab| ≤1 - cosθcb 对任意的a, b, c 皆成立.
然而,我们发现这是不可能的.例如,让a, b, c 在同一平 面上,而且b 就在a,c 的角平分线上 cos2θ- 2cosθ+ 1 ≥0 或cos2θ≥cosθ
当0 < θ< π/2 时,显然是不可能的.
J.F.Clauser 及M.A.Horne 等于1969 年改进并推广了Bell 不等式.他们的方案 是利用光子对的偏振(polarization)相关性.Clauser 等并提出了可行的实验,检 验Bell 不等式.其它如E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相继提出了 类似的不等式.
由于Bell 不等式完全基于Einstein 的定域性原理,因此Bell 定理提供了检验定 域性原理的一项利器.如果实验结果证实Bell 不等式是对的,那么就违反了 量子力学的预测;相反的,如果实验结果违背了Bell 不等式,也就同时否定 了Bell 不等式的前提,Einstein 定域性原理.终于,这场论战又从哲学回到了 物理,等待实验来判定谁胜谁败. -- 心若行云流水,不滞于物
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