发信人: jeter()
整理人: (2000-07-20 01:52:50), 站内信件
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发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilean不协变
发信站: BBS 水木清华站 (Wed Feb 24 14:16:41 1999)
发信人: space (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(5)--电磁学规律的Galilean不协变性及
发信站: The unknown SPACE (Wed Feb 24 01:10:47 1999), 转信
SPR两个原理里面有一个是信念: 物理规律不该依赖于惯性系的选择.
在经典相对性里面, 力学规律就是Newton第二定律. 它明显是独立于(惯性)
坐标系选择的.
但是现在关于电磁场的物理规律, Maxwell方程组, 则被发现如果按照经典
相对性, 这规律是依赖于坐标系选择的. 下面这节就要讲这个问题.
首先我们还是要回顾Maxwell方程组:
1. 电磁场方程组(Maxwell方程组):
div[D(X,t)]=pf(X,t) (1)
div[B(X,t)]=0 (2)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (3)
curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (4)
方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是解
E, B. 把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E, B的非常复杂的方程组, 并且
依赖于具体介质对电磁场的感应方式.
2. 均匀线性介质中的Maxwell方程组.
把以上讨论带进(1)-(4), 有:
div[E(X,t)]=pf(X,t)/e (14)
div[B(X,t)]=0 (15)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (16)
curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t] (17)
这里已经忽略掉介质是导体的情形.
{14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组,
共四个偏微分方程; 根据Helmholtz定理, A还有一个规范自由度, i.e., 我们
可以按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz
规范, 这时候关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合, 可以独立
求解. 如果电磁波传播的媒介是非导体线性均匀介质, 那么它们的方程就变成
经典波动方程:
L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e; (18)
L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t); (19)
{注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足}
E和B可一如下得到:
E=-grad[v]-D[A,t] (20)
B=curl[A] (21)
(18), (19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程),
重要评注: (18), (19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个
自然的电流连续性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20), (21), 则(18),
(19)完全等价于(14)-(17). 也就是说, 电磁场规律完全由(18), (19)决定.
讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等价于讨论(18), (19)两个偏微分方程
的协变性, 电流连续性条件的协变性, 还有Lorentz规范的协变性.
如果这几个规律同时在坐标变换下协变, 则一定保证Maxwell方程组协变.
我将如下讨论:
A) 首先证明Maxwell方程组在Galilean变换下不协变.
为此只需要证明上述几个条件任意一个不协变即可. 我下面证明波动方程
不协变. 为简单记, 证明真空中的一维波动方程不不协变. 真空中一维
自由波动方程是:
(取其中一个分量来研究)
在我们的实验室参考系K中,
D[Y(x,t),{x,2}]-u0*e0*D[Y(x,t),{t,2}]=0; (22)
D[Y(x,t),{x,2}]是对位置x的二阶导数, 同理D[Y(x,t),{t,2}]是对时间t
的二阶导数.
现在考虑运动中的惯性系K', 设它的x'轴于K重合, y', z'两轴于K有相同
指向; 再设K'以速度V沿K的x正向运动. 那么Galilean变换为:
x'=x-v*t, y'=y,z'=z,t'=t (23)
现在利用隐函数求导法则求微分算子的变换规律:
D[Y,{x,1}]=D[Y,{x',1}]*D[x',{x,1}]=D[Y,{x',1}] (24)
=>
D[Y,{x,2}]=D[Y,{x',2}] (25)
这表明对位置的微分在galilean变换下协变;现在看对时间的微分:
D[Y,{t,1}]=-D[Y,{x',1}]*D[x',{t,1}]+D[Y,{t',1}]*D[t',{t,1}]
=-V*D[Y,{x',1}]+D[Y,{t',1}] (26)
=>
D[Y,{t,2}]=V^2*D[Y,{x',2}]-2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]+D[Y,{t',2}] (27)
于是波动方程在Galilean变换下成为:
D[Y,{x',2}]-(u0*e0-V^(-2))*D[Y,{t',2}]+2*V*D[Y,{x',1},{t',1}]=0 (28)
(28)表示波动方程不协变! 另外, 交叉导数项表明, 任何只针对空间坐标的
变换是不可能导致波动方程的协变的(这个你可以自己按这方法作一下).
任何想使得波动方程协变的坐标变换必须连时间一起变!
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※ 来源:·BBS 水木清华站 bbs.net.tsinghua.edu.cn·[FROM: tethys.itp.ac
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