发信人: jeter()
整理人: (2000-07-20 23:25:36), 站内信件
|
发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相速,群
发信站: BBS 水木清华站 (Mon Feb 22 09:20:36 1999)
发信人: space (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(4)--介质中电磁波速度;相速,群
发信站: The unknown SPACE (Sun Feb 21 16:22:33 1999), 转信
Maxwell方程组; 介质划分; 相速度; 群速度.
在这节以前, 讲得比较散. 好在前面几节已经至少达到一个目的: 告诉了电磁
场规律是如何从实验总结而来. 今后的讨论, 直接从Maxwell方程组开始. 为
这目的, 以比较紧凑的形式从Maxwell方程组开始, 定义不同介质; 定义两个
速度: 相速度和群速度; 详细讨论群速度; 证明任何介质中电磁波速度小于
真空中电磁波速度(所谓光速).
等这一切准备好以后, 就可以讨论电磁学方程组的协变问题, 然后自然指出
SPR的光速独立原理的必然性.
关于群速度问题, Jackson里面有一节讲这个, 非常精采细致. 我就按他的讲
了. 另外, 电磁波在任何介质中速度小于光速, 也按Jackson的材料讲.
1. 电磁场方程组(Maxwell方程组):
div[D(X,t)]=pf(X,t) (1)
div[B(X,t)]=0 (2)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (3)
curl[H(X,t)]=Jf[X,t]+D[D(X,t),t] (4)
其中D叫作电位移矢量, 定义为:
D=e0*E+P (5)
e0是库仑定律中引入的比例常数;
E是电场; P代表介质中的原子分子等受电场极化产生的偶极距密度. 既然
P由E引起, 可写为:
P=G1(E) (6)
G1是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知D也唯一被电场E决定.
(4)中的H叫做磁场强度, 定义为:
H=(B/u0)-M (7)
u0是安培定律中引入的比例常数;
B是磁感应强度; M表示由于受磁场作用而引起介质的磁偶极距:
M=G2(B) (8)
G2是某种矢量函数, 由介质特性决定. 于是得知H也唯一被磁场B决定.
方程组(1)-(4)是完备的电磁学方程组, 适合于任何介质. 我们的目标是
解E, B. 把(5)-(8)带进(1)-(4), 就得到关于E, B的非常复杂的方程组,
并且依赖于具体介质对电磁场的感应方式G1和G2.
2. 根据G1和G2划分介质类型.
2-1. 均匀线性各向同性介质.
线性表示P的任何分量是E的分量的线性组合(同理M是B的线性组合),
也即P可以表达为一个矩阵作用在E上:
P=A.E
A还可能是位置的函数, 表示介质不同部分性质可能不同. 均匀性表示介质
性质处处相同, A不依赖于位置, A是常数矩阵. 各向同性要求A是平行于E:
P=e0*xe*E (9)
同理有:
M=xm/((1+xm)*u0) (10)
xe和xm是为方便定义的两个常数, 它们和e0, u0一起给出了P, M依赖于电磁
场的比例常数. 对一切介质, xe>0; 但是xm可正可负(顺磁介质/逆磁介质).
显然在这种介质下,
D=(1+xe)*e0*E=ke*e0*E=e*E (11)
B=(1+xm)*u0*B=km*u0*B=u*B (12)
{e,u}, 或者{ke,km}, 或者{xe,xm}就代表了介质特性, 我把他们叫做介质的
电磁参数.
另外, 我们定义一个量:
n=(ke*km)^(1/2) (13)
这叫介质折射率.
2-2. 一点儿推广.
上面的均匀线性各向同性介质明显要求过分苛刻: 它要求介质对任何电磁波的
响应必须一样. 比如对红光和蓝光的响应必须一样. 实际上从三棱镜可以分光
这一事实就知道, 最理想的现实介质, 响应方式其实和电磁波频率有关. 所以
上面的均匀线性各向同性介质的电磁参数其实是频率的函数.
3. 均匀线性介质中的Maxwell方程组.
把以上讨论带进(1)-(4), 有:
div[E(X,t)]=pf(X,t)/e (14)
div[B(X,t)]=0 (15)
curl[E(X,t)]=-D[B(X,t),t] (16)
curl[B(X,t)]=u*Jf[X,t]+u*e*D[E,t] (17)
这里已经忽略掉介质是导体的情形.
{14,15,16,17}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t),A(X,t)}的方程组,
共四个偏微分方程; 根据Helmholtz定理, A还有一个规范自由度, i.e., 我们
可以按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是Lorentz
规范, 这时候关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不再互相耦合, 可以独立
求解. 如果电磁波传播的媒介是非导体线性均匀介质,那么它们的方程就变成
经典波动方程:
L[v(X,t)]-u*e*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e; (18)
L[A(X,t)]-u*e*D[A(X,t),{t,2}]=-u*Jf(X,t); (19)
{注: 在{e,u}随频率相关明显的介质, 以上方程只对特定频率满足}
E和B可一如下得到:
E=-grad[v]-D[A,t] (20)
B=curl[A] (21)
(18), (19)就是波动方程(实际上是Poissoin方程),
重要评注: (18), (19)的推导利用了Lorentz规范条件; 记住我们还有一个
自然的电流连续性条件. 考虑到这二者之后, 并考虑(20), (21), 则(18),
(19)完全等价于(14)-(17). 也就是说, 电磁场规律完全由(18), (19)决定.
讨论Maxwell方程组的协变性, 也就等价于讨论(18), (19)两个偏微分方程
的协变性.
取其中一个分量来研究:
L[Y(X,t)]-u*e*D[Y(X,t),{t,2}]=0; (22)
令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是:
Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (23)
a=(u*e)^(-1/2) (24)
这里用小x表示一维情形, 是为简单. 表示波沿x轴方向传播. f, g是两个
任意光滑函数.
g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at).
w=x-at (25)
叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=>
D[x,t]=a (26)
所以a就是相速度.
真空中速度为:
c=(e0*u0)^(-1/2) (27)
介质中速度为:
v=(u*e)^(-1/2)=c/n (28)
n是折射率.
如果介质电磁参数明显依赖于频率, (28)意味着不同频率的电磁波在介质中
速度不一样.
4. 群速度定义.
如前所述, 介质中电磁波速度为:
a=c/n
而如前所述, n一般说来是电磁波频率的函数, 导致不同频率电磁波在介质
中跑的不一样快.
另外, 就我们的均匀线性介质而言, 可以证明
Exp[i(k*x-w*t)] (29)
总是Maxwell方程的一个特解, provided a relation between k and w:
w=g(k)
显然w/k=a=(u*e)^(-1/2)=c/n是速度. 由于现在电磁参数是频率w的函数,
所以w/k=v(w), 是某一特定频率电磁波的(相)速度.
如果v不是w的函数, 那它是一个完全决定于介质的常数.
任何频率的电磁波穿越这介质时速度一样.
对所有可能的k叠加起来就是我们的通解. 由于v是由介质电磁参数决定的,
所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:
由于每个平面波的速度一般说来不一样, 以至于我们的初始波形会随时间变化.
这个变化中的波形的中心位置随时间移动的速度为:
vg=D[w,k] (30)
这就是所谓群速. 在真空中或者与频率无关线性均匀介质中, 显然:
vg=v
这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变.
我们下面一节要专门讲群速度的意义.
另外, 在前面贴的和这里差不多内容的(3-2), 讲得不清楚, 所以看这里的
可能好些.
--
※ 来源:·BBS 水木清华站 bbs.net.tsinghua.edu.cn·[FROM: tethys.itp.ac
.c]
--
——优秀科学类主页推荐——
MyScience科学新闻站：http://myscience.yeah.net
MyScience三思言论集：http://mysci.yeah.net
浪子的梦想者家园： http://joiye.yeah.net
--
谁怕 一蓑烟雨任平生／归去 纵是风雨总有晴
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 202.104.137.20]
|
|