发信人: jeter()
整理人: jeter(2000-07-20 01:52:42), 站内信件
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发信人: space1 (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(3-2)
发信站: BBS 水木清华站 (Sat Feb 20 13:02:27 1999)
发信人: space (排骨教主), 信区: Science
标 题: 狭义相对论素描(3-2)
发信站: The unknown SPACE (Fri Feb 19 23:45:27 1999), 转信
下面是一些数学变换, 使上述共8个方程得到约化. 因为计算复杂,
我直接给约化逻辑:
(18)=>存在矢量势A使:
B(X,t)=curl[A(X,t)] (21)
{(21),(19)}=>存在标量势v(X,t)使:
E(X,t)+D[A(X,t),t]=-grad[v(X,t)] (22)
{17,20,21,22}可以得到非常复杂的相互耦合的关于{v(X,t), A(X,t)}的方程
组, 共四个偏微分方程; 根据Helmholtz定理, A还有一个规范自由度, i.e.,
我们可以按需要规定div[A(X,t)]而不影响物理结果. 通常采用的规范是
Lorentz规范, 这时候关于v(X,t)的方程和关于A(X,t)方程将不在互相耦合,
可以独立求解. 如果电磁波传播的媒介是非导体线性均匀介质, 那么它们的
方程就变成经典波动方程:
L[v(X,t)]-a*D[v(X,t),{t,2}]=-pf(X,t)/e0; (23)
L[A(X,t)]-a*D[A(X,t),{t,2}]=-u0*Jf(X,t); (24)
(23), (24)就是波动方程(实际上是Poissoin方程), a是一个常数, 依赖于介质.
取其中一个分量来研究:
L[Y(X,t)]-(1/a)^2*D[Y(X,t),{t,2}]=0; (25)
令右边为零, 表示是在自由空间传播. 这波动方程的通解是:
Y(x,t)=f(x+a*t)+g(x-at) (26)
这里用小x表示一维情形, 是为简单. 表示波沿x轴方向传播. f, g是两个任意
光滑函数.
g(x-at)表示沿x正向传播, f(x+at)表示逆向传播. 现考察正向波g(x-at).
w=x-at (27)
叫作这波的一个相. D[w,t]=0是保相条件=>
D[x,t]=a (28)
所以a就是相速度.
2. 补(群速度).
必须指出来的是, 这里的速度a是和光传输介质有关系的. 电荷相互作用测量
总结成库仑定律时引入一个参数e0; 电流线路的相互作用总结成安培定律时
引入一个比例常数u0; 真空里方程(25)里面的a其实是:
a=(e0*u0)^(-1/2) (29)
在介质中, 因为介质里的原子会被电场E极化; 而同时磁场也会磁化介质;
这电场与介质的相互作用直接改变介质里面电荷与电流的分布. 对最简单的
所谓线性均匀各向同性价值来说, 经过复杂运算, 可以证明只要把以前一切
公式里面的e0和u0换成:
e=(1+ke)*e0; (30)
u=(1+ku)*u0; (31)
其中ke>0,ku>0, 则以前一切在数学上都是适用的. 具体到目前的问题上,
就是介质里面的电磁波速度变成;
v=(e*u)^(-1/2) (32)
显然小于真空里的速度. 今后把真空里的速度记为:
c=(e0*u0)^(-1/2) (33)
这就是通常所谓光速了.
另外, (26)是一方程(25)的通解. 它表明电磁波波, 不管是什么样的波,
其速度在真空和线性各向同性均匀介质中都是一样, 完全决定于电磁参数{e,u}.
这样的情况下, 电磁波的速度就是就是相速, 所谓群速度和相速度在真空和
在线性介质中没有任何差别.
如果你学过傅立叶展开的话, 就知道我们的通解可以被三角函数展开. 这
展开的每一项叫作一个平面波; 每个平面波的形式是:
Exp[i(k*x-w*t)] (34)
显然w/k=v是速度. 对所有可能的k叠加起来就是我们的通解. 由于v是由介质
电池参数决定的, 所以k和频率w不是互相独立的, 它们是个函数:
w=k*v (35)
在不是真空或者均匀线性各向同性的介质中(比如介质是个导体), 我们可以
得到不同于(25)的电磁波方程. 这方程的解也不在有(26)那样的通解形式.
但是平面波这样的特解常常是方程的解, 并附加条件:
w=f(k) (36)
显然(35)是这里的特例. 再用傅立叶展开, 里面的每个平面波都具有速度:
v(k)=w/k (37)
由于现在w/k不是常数, 所以每个平面波的速度不一样, 以至于我们的初始
波形会随时间变化. 这个变化中的波形的中心位置随时间移动的速度为:
vg=D[w,k] (38)
这就是所谓群速. 在真空中或者线性均匀介质中, 显然:
vg=v
这表示所有分波传播速度一样, 波形不会改变.
相对论的问题里面, 速度是个大概念. 我们这里引进两个速度概念,
将来都要重新提到. 这里只能笼统说:
相对论有关光速的原理是电动力学协变性的需要. 而我前面讲如此多的电动
力学, 是想让大家对电动力学的坚实基础有个印象. 可以说它的原理直接是
实验归纳---除位移电流外, 它是实验的忠实归纳.
但是最后会发现如此忠实于实验的理论和经典相对性有冲突.
这才是光速原理的来源. 至于什么科普书上神经兮兮的"信息的传播"等等,
全是哲学考虑, 我不喜欢. 光速原理有一个必要原因, 就是电动力学协变性,
希望大家记住这点. 我慢慢会把这些都写到bbs上, 但是后面数学越来越多,
我自己也越来越怀疑自己正在做的事情的意义了.
已经写这样多, 不想半途结束. 今后没人看, 我自己当复习吧.
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