发信人: jeter()
整理人: jeter(2000-10-09 01:26:42), 站内信件
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数学证明及其优美性
周杰 编译
过去数学证明通常简捷而优美，但现在它们更像是洋洋洒洒的《战争
与和平》甚至枯燥无比的电话簿。人们不禁质疑：优美的数学证明是否已
经成为一种失去了的艺术？
欧几里德以简捷、优美、充满智慧的数学论证为世人所仰慕。人们都
为数学的优雅和数学世界的美丽而惊叹，也为能理解其证明的正确性而高
兴。
性情古怪但又聪明绝顶的数学家Paul Erdos断定上帝有一本关于所有
最佳数学证明的书。在他看来，数学家的工作就是越过上帝的肩膀偷看一
下那本书，并将上帝的智慧传递给人类。
但是现在看来这种简单、优美的方法只是几种数学证明方法之一，审
视一下过去几年知名的数学证明，其已不是那种为希腊人所知的简短紧凑
的证明，而是及其庞大，有几百页乃至几千页之巨。上帝创造的优美性出
了什么问题？这些庞大的证明真是必需的吗？其之所以如此庞大是否是因
为数学家愚蠢到不能找到“上帝之书”中所写的简短而聪明的证明方法？
答案之一是简短的数学论述未必有简短的证明。奥地利出生的数学家
Kurt Godel原则上证明了有些简短的数学论述需要很长的证明，但他不知
道哪些数学论述是这样的，其他人同样如此。
过去几年中一些重要的数学证明都冗长而复杂，例如由美国普林斯顿
大学的数学家Andrew Wiles于1996年证明的费马大定理。为了解决这个难
题，Wiles使用了大量的数学方法，对问题进行拆解，结果得到的证明一
点也不枯燥和烦琐，反而显得丰富而优美，虽然不像“上帝之书”中的证
明那么简短，但也像一部《战争与和平》。
费马大定理的形成过程值得一提。1637年，具有非凡数学才华的法国
律师费马(Pierre de Fermat)在他的个人著作《Arithmetica of
Diophantus》中阐述了一个重大定理，其与毕达哥拉斯的定理a^2+b^2=c^2
（其中a、b、c为整数）有关，有众多不同的a、b、c值满足这个等式，每
一组值都构成了一个直角三角形的三个边，其中c为斜边。
费马尝试使三次方或四次方的等式也成立，但却找不到实例。换句话
说，他无法发现一个使a^n+b^n=c^n成立的方程式，其中a、b、c为整数
(a*b*c≠0)，n为大于2的整数。这是否意味着这种等式不可能存在呢？在
其著作的边缘空白处，费马写到他已经想到了一个绝妙的方法证明毕达哥
拉斯定理只适用于二次方，但他又注明“地方太小，无法写下这个证明”。
这样一个证明方法虽然在书的边缘写不下，但也肯定是简捷而优美的，
可以在“上帝之书”中占有一席之地。然而三个半世纪以来，一个接一个
的数学家尝试着去寻找它，但均以失败告终。然而在20世纪80年代末期，
普林斯顿大学的英国数学家Andrew Wiles着手攻克这一难题。他在其屋顶
阁楼独自工作，仅告诉了几个发誓替他保密的同事。
Wiles使用的方法和前人一样，假设满足等式的a、b、c、n存在，然
后希望能够用代数学的方式导致矛盾。他的这一出发点起源于德国Essen
大学Gerhard Frey的想法。Frey认为用费马的“不可能存在”的等式的三
个根a、b、c可以构成代表椭圆曲线的三次方程。这是一个聪明的办法，
因为数学家研究椭圆曲线已经有一个多世纪了，并掌握了很多处理椭圆曲
线的方法，而且那时数学家们已经认识到由费马等式的根产生的椭圆曲线
有奇异的特性，与另一个称为Taniyama-Shimara-Weil的决定椭圆曲线性
质的猜想相矛盾。
费马等式的根将否定Taniyama-Shimara-Weil猜想，意味着如果证明
猜想是正确的，则费马等式的根就不可能存在。因此Wiles花了7年的时间
用数论的方法解决了这个问题。尽管他独自工作，但他不是独自创立了这
个领域，他与椭圆曲线领域最新的进展保持着密切的接触。如果没有众多
的数论专家创造的一系列新方法，他可能不会成功。即便如此，他本人的
贡献也是巨大的，他将这一领域推进到了一个崭新的时代。
Wiles的证明目前已全部出版，它有100多页长，当然要写在书的边缘
是太长了。Wiles发明的证明费马大定理的方法极其丰富而优美。他的思
想开创了数论的崭新时代。当然他的证明很长，只有这一领域的专家才能
理解其中的具体内容。
还有第三种数学证明的方法，只是在过去的30年中才出现，这就是计
算机辅助证明。它就像一个提供单调、重复的三明治的快餐商店，可以完
成这方面的工作，但结果一点也不优美。计算机辅助证明所做的工作就是
将通常很聪明的解决难题的方法变为巨大的、程序性的计算，然后交给计
算机，如果计算机说“对”，则证明就完成了。
去年就出现了一个使用这种证明方法的例子。1611年，约翰尼斯·开
普勒(Johannes Kepler)在研究将球堆放在一起的方法时，得到的结论是
在一个给定的空间放入最多圆球的最有效方法是水果商码放柑橘的方法，
先呈蜂窝状的码放一层，然后再在其上面码放同样的一层，但位于第一层
的凹处，如此一层层码放。这种码放的方法也出现于许多晶体中，物理学
家称之为面心立方晶格。
开普勒的结论是“显然的”，但理所当然这么想的人缺乏敏锐的判断。
例如，当时甚至没能证明最有效的码放方法还包括水铺法。虽然水果商是
一层层码放货物的，但并不一定非要如此。即使是这一问题的二维空间版
本，即在平面上铺放同等大小的圆的最有效的方法是蜂窝状铺放，也直到
1947年才由匈牙利数学家Laszlo Fejes Toth证明。约10年前，美国加州
大学的Wu-Yi Hsing宣布证明了这一问题的三维版本。证明长达200页，但
是其中的推理缺乏连贯性，渐渐的其他数学家拒绝接受这一证明。去年美
国密歇根大学的Thomas Hales宣布了一个计算机辅助证明，有几百页之长
并附有一大堆计算结果，此证明最先发表在他的网页上，现在正在接受同
行的审核以期在数学期刊上发表。
Hales采用的方法是记录下所有堆放小球的可能方法，然后证明如果
堆放方法不是按照面心立方晶格结构，则可以通过细微的调整进行压缩。
结论是唯一的不可压缩的堆放方法，即最有效填充空间的方法是猜想的那
一种。Toth也是这样处理二维问题的，他列出了约50种可能的铺放方法，
而Hales要处理几千种，计算机要证明这些大量的不同方法需要3G的内存。
最早使用这种计算机方法的数学证明之一是四色原理。约150年前，
英国数学家Francis Guthric提出是否所有包含任何形状国家的地图都可
用四种颜色图色，即可使相邻国家有不同的颜色。这一原理听起来简单，
但要证明却极其困难。1976年美国数学家Kenneth Appel和Wolfgang Haken
发现了证明方法，通过反复试验和手工计算，他们先提出了近2000种国家
的组合，然后用计算机证明这些组合是“不可避免的”，即任何可能的地
图中的国家排列至少是这些组合中的一种。
下一步是证明这些组合中的任何一个都是“可缩减的”，即每一种组
合的一个部分都可缩减去掉，成为一个简单的地图。严格地说缩减必须保
证如果缩减后的简单地图可以用四种颜色图色则原地图也可以。
现在想象一下需要用五种或更多种颜色图色的最简单的地图，即所谓
的“最小违反图”。像所有地图一样，这个地图肯定至少包含二千种可缩
减组合之中的一个，缩减所包含的组合就可得到比“最小违反图”更简单
的地图，其肯定只需要四种颜色，这也意味着“最小违反图”只需要四种
颜色即可，避免这一矛盾的唯一可能是“最小违反图”不存在。
实际上在证明过程中用到了更多的方法，而不仅仅是缩减地图。为每
一个组合寻找相应的缩减方法需要大量的计算机运算，使用当时最快的计
算机也需要2000个小时，但使用现在的计算机只需1个小时，最终Appel和
Haken得到了答案。
计算机辅助证明在风格、创新性、方法和哲学等方面带来了一系列问
题，有些哲学家认为就传统意义而言用计算机证明方法得到的根本不是证
明。而另外一些人却指出，这种大量的、程序性的工作正是计算机的特长，
却是人类的弱点，如果一台计算机和一个人同时经过大规模的计算后得出
不同的结论，则赌注应该押在计算机上。
计算机进行的任何计算都是平常、单调的，只有人们将其引申后才有
价值。如果说Wiles对费马大定理的证明内涵丰富、充满思想性，像一部
《战争与和平》，则计算机证明更像一本电话簿，没有人愿意读这种东西。
而事实上像Appel-Haken和Hales的证明从文献阅读的角度说还太短了，其
仅是用于审核。
然而这些证明并不缺乏优美性和深度，毕竟要有足够的智慧才能使计
算机能够解决难题，而且当证明了猜想的正确性后，也许能试着去寻找更
优美的证明方法。这听起来有些奇怪，但往往证明已经知道其正确性的事
情很容易。在数学家之间有可能会听到这样的对话，有人会开玩笑地建议
可以散布某一重要的难题已经解决的谎言，这样可以使其他人更容易地找
到证明方法。这是否意味着数学家们能逐渐地发现上帝对开普勒、费马和
其他定理的证明呢？如果是这样的话当然很好，但这可能不会遂人所愿，
也许在“上帝之书”里根本没有这些定理的证明。没有理由认为陈述简单
的定理也必然有简单的证明，人们都知道有许多做起来极其困难的事情说
起来却十分简单，比如“登月”、“治疗癌症”等，数学也不例外。
专家们经常会对复杂冗长的证明或有些人提出的另外的简化证明方法
的错误性印象太深刻了，虽然他们经常是对的，但偶尔也会由于知道的太
多而使他们的判断力受到影响。这好比有一座高山，一条曲折的山路是登
顶的很自然的道路，但如果这座高山充满了冰川和沟壑，这条路就可能极
其漫长和艰险，也许这条似乎是唯一选择的路途中还有不可攀登的悬崖峭
壁，然而有可能发明直升飞机使你可以快捷容易地到达顶峰。因此有些人
会偶然地发现类似的方法证明专家是错误的。
请记住Godel和其发现的某些数学证明必定很长这一理论，也许四色
定理和费马大定理就是其中的例子。就四色定理而言，可以通过计算证明
如果使用目前的方法，即找出一系列不可避免的组合，然后用“缩减”的
方法一个个排除，则不可能有更简短的证明。这就如同登山时遇到了冰隙，
当然也不排除会有“直升飞机”的出现。
回到费马在其著作上的潦草注释这一问题上。如果人类能够发现的最
佳证明只能如此庞大，那么为什么费马会那样注解呢？他当然不会将一个
200页的证明弄错而匆忙地注释说“在书的边缘写不下”。
在此还有另一个理论。剑桥大学的数学家Godfrey Hardy是一个无神
论者，但也不是传统的宗教信徒。Hardy相信上帝的数学证明是为他准备
的，所以当他进行令其憎恶的坐船旅行时，会发出一封电报：“刚刚证明
了黎曼猜想，但在船上无法写下证明过程。”对质数进行复杂分析的黎曼
猜想一直是数学领域最重要的仍未解决的难题。Hardy相信这样上帝就不
会让船沉没，因为如果船沉没了，他将在死后得到有可能已经找到了证明
方法的美誉。
也许费马有同样的想法，或者他可能仅仅想成名。若真如此，他的目
的已经达到了。
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2000 No.7 P.30-32
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