发信人: eigolomoh()
整理人: jeter(2000-09-07 23:00:21), 站内信件
|
要转就通通转过来嘛，否则占个版面别人不知道你在说啥，不太好。
下面是我在北京社区回答笨笨的问题：“等长线平面内围成各种图
形，为何圆面积最大。”
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
笨笨还是认真的，所以我少不得抱紧脑袋（防止它大起来）认真地
想一想。画了画图，发觉我上面说的话有很大的问题。我还是稍微
仔细地讲讲这个问题吧，大概知道这个定理的人很多，可是知道怎
么证的人就相对少多了。
给定一个周长l，让我们假设存在（至少）一个图形，它的周长是l，
而它的面积是所有周长为l的图形里面最大的。
首先，它必须是凸的，也就是说，在它内部（包括边界）任取两点，
然后通过这两点作一条直线，那么这整条直线都在这个图形的内部。
因为如果这条直线有一部分露在外面，我们把这条直线新割过来的
面积加上旧有的面积，算作一个新图形，它的面积比原来的大，而
周长反而小了（两点之间，直线最短）。
然后在曲线上任取一点，则必然有对应的唯一一点，使得这两点把
曲线分成等长的两段，现在通过这两点作一直线，这条直线把图形
分成两块（因为它是凸的，所以不会分成更多块）。这两块的面积
一定是相同的，如果不是，把面积比较大的那块以直线为对称轴反
射到另一边，我们就会有一个比原来更大的图形，这就矛盾了。这
是我上次讲的。
现在我们就换到另一个问题：现在有长为l/2的曲线，怎样才能在一
条直线旁边围出一个面积尽量大的图形（直线算作一边）？我们要
证明这是个半圆，然后和上面的推理结合起来就证明了我们的定理。
假设曲线的端点是a，b，它们都在直线上。要证明这是个半圆，只
要证明对曲线上的任一点c，ac和bc成直角（为什么？这是中学几何，
如果你忘了，想想ab的中点o，以及oa，ob，oc的长度）。
在纸上画个图比较容易理解我下面要讲的。线段ac和bc把图形分成
了三块，两块象月亮，一块是个三角形。想象一下象月亮的两块是
由c点为关节的一对钳子，可以开合，a点固定而b点可以随着钳子的
开合在直线ab上移动，那么象月亮的两块的面积是不会变的，只有
当中的三角形面积才会变。什么时候三角形面积最大？当然是ac和
bc成直角的时候！
上面的证明有个小小的漏洞：我们假设了最大面积的图形是存在的。
但是要严格证明这一点，需要有大学里微分计算的知识。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
好，现在来看笨笨的问题：
“把引文第一段（就是上面倒数第三段）叫1，第二段（就是上面倒数
第二段）叫2。异调天师在1中提出了目的：证明为半圆，2中首先说明
的是在一段曲线ab上，取c点，由曲线段ac与bc加上线段ab围的图形中
角ABC=90度时最大，叫2.1吧；而我揣测你的意思是任取一点都满足2.1
的曲线是半圆，所以处处最大，所以证毕。但2.1所证之最大是对于同
一曲线的，比如在线段ab上是半椭圆，虽然其上任意一点所分曲线不
都能围成最大，但与半圆上点所分曲线并非一致，所以……”
首先我不是天师哎，我不会画符，也不会驱鬼。不过我想你叫我声大
哥我还是担得起的。
你提的问题不太明确，不过我猜得出你觉得这个证明中有点问题的感
觉，所以我知道你想说的是什么。你大概想说，如果一开始曲线ab不
是个半圆，而是其它什么曲线，比方说半椭圆，那么在上面取一点c，
再作ac，bc，然后发现它们的夹角不是直角，就用我上面讲的“a点固
定而b点可以随着钳子的开合在直线ab上移动”的方法，把这个角搞成
了直角，我们就得到一条新的曲线。但是取不同的点得到的曲线是不
同的，而且先搞好了一点，取第二点时会把第一点搞好的那个直角又
破坏掉了。我对你的问题的理解对不对？
其实我的证明里用的是反证法，而不是要一点一点地调整出这条最佳
曲线来。就是说，如果有这么一条围成最大面积的曲线存在，它就非
得是半圆不可。假设它围成了最大面积，要是它不是半圆，那么我一
定找得到曲线上的一点c，使得ac，bc不是直角。可是这就不对了，只
要按我上面讲的那样，大钳子张开或者合上点，就能得到一个面积更
大的图形。这就和“围成了最大面积”矛盾了。所以它一定是个半圆。
注意我最后讲的证明小漏洞：在这里我们上面证出来的其实是“如果
有这么一条围成最大面积的曲线存在，它就非得是半圆不可”，这句
话的如果部分不是显而易见的，要完整地证明这个定理，就应该把这
部分的证明也写出来。
--
我们用铅笔在头皮上写下无数诗行
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 213.11.117.254]
|
|