发信人: feilong68()
整理人: (2000-09-03 08:35:05), 站内信件
|
任晓林，胡光锐，徐雄
(上海交通大学电子工程系)
混沌时间序列的分析和处理作为混沌应用的热点之一引起了人们的极大兴趣
［1］.近年来，人们对混沌时间序列的分析和处理大体集中在两方面：(1) 时间
序列的数学建模问题［2,3］;(2) 时间序列的噪声抑制即滤波问题［4,5］.一般
来说，给定一混沌时间序列，选择合适的全局或局部的非线性数学模型，然后估
计其模型的参数，以重构混沌动力学系统，这就是建模.由于在真实的物理背景下
，混沌时间序列总是要受到噪声的污染，因此混沌时间序列的滤波已经成为分析
和处理混沌时间序列的重要研究课题.基于以上考虑，本文发展了一种在混沌时间
序列中能同时估计混沌参数和滤除时间序列噪声的新方法，它把参数估计和滤波
看作是一种最小化过程，采用梯度下降迭代来求解.值得指出的是，近来Schweiz
er等［6］也提出了能同时对时间序列进行参数估计和滤波的总体最小二乘法(TL
S).但对混沌时间序列来说，用TLS方法虽然能得到较好的参数估计，但破坏了混
沌时间序列的内在确定性，使得时间序列的滤波效果不甚理想.
1 基于最速下降法的参数估计和滤波
在分析混沌时间序列的参数估计和滤波之前，先介绍下面要用的两个典型的
混沌系统：Logistic方程和Henon映射.Logistic方程是一个简单的一维离散方程
：
xi+1=rxi(1-xi) (1)
式中r为参数.而Henon映射是一个典型的二维映射：
xi+1=yi+1-ax2I yi+1=bxi (2)
式中a、b为参数.本文的目的就是估计这些模型的参数并同时对其时间序列进行滤
波.
给定一测量到的时间序列yi(i=1,2,…,N)，假定它是由混沌时间序列xi受噪
声污染后产生的.对双曲型动力学系统，Bowen［7］证明了系统中非精确有噪声的
轨道旁总存在一条唯一的精确轨道，这就是动力学系统中有名的影子定理(Shado
wing
Theorem).根据混沌时间序列的这种影子特性，可以用混沌系统的动力学误差ηi
来代替其TLS误差［6］:
ηi=x^i-f(x^i-1,x^i-2,…,x^i-d,a1,a2,…,am) (3)
式中：ηi为时间序列中的第i个点的误差；x^i为滤波后的时间序列；f为混沌系
统方程；d为系统的维数(对Logistic方程来说d=1，对Henon映射则d=2)；{ak}(k
=1,2, …,m)为系统的m个参数.于是，利用Euclidean范数，总体误差可写成代价
函数
H=∑Ni=d+1η２i
这样，混沌时间序列的参数估计和滤波问题就转化为代价函数H的最小化问题，即
通过最小化H来求得系统最优参数{ak}(k=1,2,…，m)和滤波后的时间序列{x^i}(
i=
1,2,…，N).
在非线性最小化问题minH(x)(x∈Rn)中，许多算法都是在已知的某个近似解
x(k)
的基础上，沿搜索方向p(k)移动一个步长λ(k)，从而获得一个更好的近似解x(k
+1)，
即
x（k+1)=x(k)+λ(k)p(k) (4)
本文采用最速梯度下降法来解H的最小化问题.虽然它是一次收敛的，但它比牛顿
法稳定，比较适合于处理混沌时间序列［5］.最速梯度下降法搜索方向p取为梯
度下降方向，即p=-Δ H.这样，式(4)可重写为
．．．．．．（略）
在迭代过程中，把x^i的初始值取为时间序列的观测值yi(i=1,2,…,N).
新方法与TLS方法［6］的最大区别是，新方法把混沌时间参数估计和滤波问
题当作简单的最小化问题来解，即仅仅调整混沌系统的轨道使其动力学误差最小
. 由Bowen的影子理论［7］可知，假如数据来自双曲的混沌系统且噪声不大，则
完全可以把轨道的动力学误差消除到零.假如再加上数据无限长，那么滤波后的轨
道可以唯一地确定.虽然在实际中只能得到有限长的噪声轨道，但是滤波后的确定
性轨道还是可以唯一地确定.在实际中，虽然大多数混沌系统不是真正双曲的，系
统中轨道的这种影子特性在一段时间后将不复存在，但这一段时间是很长的；对
Henon 系统，这个时间大约为108时间步长，因此，实际上还是可以利用影子理论
的.由此可知，新方法在估计参数的同时保证了混沌系统轨道的确定性，从而提高
了滤波的性能，是一种简单、可行的方法.
2 数值模拟实验
在这一节中，把新方法应用于Logistic方程(式(1))和Henon映射(式(2))产生
的混沌时间序列，并着重比较新方法和TLS方法对这些混沌系统参数估计和滤波的
性能.在Logistic方程中取参数r=4.0；而对Henon映射则取参数a=1.4,b=0.3，然
后在两个时间序列里，都加上20%高斯白噪声，数据的长度为500点.
为了定量分析新方法的性能，给出两种误差：
．．．．．．
其中：Edyn为平均动力学误差；ηi为式(3)定义的误差项；Etrue为平均残余误差
； xi为原始的无噪声时间序列；x^i为滤波后的时间序列.平均动力学误差衡量滤
波后时间序列的确定性程度，而平均残余误差则衡量滤波后时间序列与原始无噪
声时间序列的接近程度.在数值模拟实验中，先用LS方法粗略地估计出混沌系统的
参数，并把这些估计值作为本文方法的初值，然后迭代50次.表1所示为估计的参
数及误
差与TLS方法比较的结果.
．．．．．．
从表中可以看出：本文方法对混沌系统的参数估计和TLS方法的效果差不多，
但本文方法对混沌时间序列的噪声抑制能力比TLS方法明显要好，特别反映在动力
学误差大小上，说明本文方法在精确估计混沌系统参数的同时保持了混沌时间
序列的内在动力学结构.
图1(a)、(b)分别给出了Logistic原始吸引子与加噪声后的吸引子，与加噪声
后的吸引子(c)、(d)则给出了分别应用TLS和本文方法后的吸引子；图2(a)、(b)
分别给出了Henon原始吸引子与加噪声后的吸引子，(c)、(d)则给出了分别应用T
LS 和本文方法后的吸引子.从图中可知，TLS方法对混沌时间序列的滤波效果不理
想，而使用本文方法结果较好，从吸引子的形状来看，它几乎跟原始的吸引子一
样.
3 结语
本文针对从混沌时间序列中估计系统参数并进行滤波的现有方法的不足，根
据非线性动力学理论，发展了利用最速下降方法估计参数和滤波的新方法.数值模
拟实验表明，新方法要优于现有的方法，既具有参数估计的精确性又具有滤波性
能好的优点，是估计混沌系统参数和滤波的一种有效方法.
参考文献
1 Grassberger P, Schreiber T, Schaffrath C. Nonlinear time series anal
ysis. Int J Bifur
Chaos, 1991,1(3):521～548
2 Sugihara G, May M. Nonlinear forecasting as a way of distinguishing
chaos from measurement
error in time series. Nature, 1990,344(6268):734～741
3 Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series. Phys D, 198
9,35(3):335～356
4 Farmer J D, Sidorowich J J. Optimal shadowing and noise reduction. P
hys D, 1991,47(3):373～392
5 Davies M. Noise reduction schems for chaotic time series. Phys D, 19
94,79(2～4):174～192
6 Schweizer S M, Stonick V L, Evans J L. TLS parameter estimation for
filtering chaotic time
series. In:IEEE Proc ICSSP, Atlanta GA USA, 1996.1609～1612
7 Bowen R. Markov partitions for axion a diffeomorphisms. Amer J Math,
1970,92:725～747
返回摘要
--
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 210.76.57.198]
|
|