发信人: bsese()
整理人: bsese(2000-08-02 14:10:33), 站内信件
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趣味数学填数题答案
原题：
三个等半径圆，各圆都过另二圆的圆心，三圆相交把三圆
分为七格。将1至7这7个数填入三圆的七格中，使各圆的4格的
4数相加的三个和数都相等。 应如何填？共有几种填法？
（一种填法的正反 120 度旋转，或过任二圆的相互对称轴
作 180 度旋转都不算一种新填法。）
下面粗糙地示意一种填法，各圆4数和都为13。
－－－－
－－ ／ ７ ＼－－ ＼
／ ︱ ＼ ／ ︱ ＼
︱ ︱２ ／ ＼ ３︱ ︱
︱ ＼ ／ 1 ＼ ／ ︱
︱ 6 －－－－ 5 ︱
＼ ︱ 4 ︱ ／
＼ ＼ ／ ／
＼ ＼ ／ ／
＼ ／＼ ／
－－ －－
为便于讨论再将上述的粗糙的示意填法简化表示为：
7
2 3
1
6 4 5
（一种填法的正反 120 度旋转，或过任二圆的相互对称轴
作 180 度旋转都不算一种新填法。）
因此，下述三个填法属同一种填法。
7 5 7
2 3 3 4 3 2
1 1 1
6 4 5 7 2 6 5 4 6
填法1 填法1的 填法1的
-120度旋转 180度旋转
_____________________________________________
答案：
中心为1有4种填法：
7
2 3 圆内4数和 = 13
1
6 4 5
7
2 4 圆内4数和 = 14
1
5 6 3
6
3 5 圆内4数和 = 15
1
4 7 2
4
5 6 圆内4数和 = 16
1
3 7 2
_________________________________
中心为2有2种填法：
7
1 4 圆内4数和 = 14
2
6 5 3
5
3 6 圆内4数和 = 16
2
4 7 1
_________________________________
中心为3有2种填法：
7
1 4 圆内4数和 = 15
3
5 6 2
6
2 5 圆内4数和 = 16
3
4 7 1
_________________________________
中心为4有2种填法：
7
1 2 圆内4数和 = 14
4
6 3 5
3
5 6 圆内4数和 = 18
4
2 7 1
_________________________________
中心为5有2种填法：
7
1 3 圆内4数和 = 16
5
4 6 2
6
2 4 圆内4数和 = 17
5
3 7 1
_________________________________
中心为6有2种填法：
7
1 2 圆内4数和 = 16
6
4 5 3
5
3 4 圆内4数和 = 18
6
2 7 1
_________________________________
中心为7有4种填法：
6
1 2 圆内4数和 = 16
7
5 3 4
6
1 3 圆内4数和 = 17
7
4 5 2
5
2 4 圆内4数和 = 18
7
3 6 1
3
4 5 圆内4数和 = 19
7
2 6 1
共有18种填法。
_________________________________
证明：
以位置：
1
2 3
4
5 6 7
对应变量 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7.
根据题意得方程组：
x1 + x2 + x3 + x4 = x2 + x4 + x5 + x6,
x1 + x2 + x3 + x4 = x3 + x4 + x6 + x7,
1 ≤ xi ≤ 7, (i=1,2,3,4,5,6,7)
xi ≠ xj, (j≠i, j∈{1,2,3,4,5,6,7} )
求解该方程组可得整数解 108 个。
因为一种填法的正反 120 度旋转，或过任二圆的
相互对称轴作 180 度旋转都不算一种新填法。
这只要将每种填法的内围填数 x2, x3, x6 （也可
取外围填数 x1, x5, x7 ）按大小排序，排序后序列相
同并中心值 x4 也相同的就并为同一种填法，最后得如
上述列出的 18 种填法。
如果仅从数量考虑一种填法的正反120度旋转，或过
任二圆的对称轴作180度旋转总共有6不同的变换，因此
填法种数有
108 / 6 = 18.
证毕。
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本题来源于作者读初中时，1964－1965年的《中学生》
上三圆填数题的扩张，当时作者对原题填出的几个答案与下
一期公布的答案不一样，因此当时作者就继续寻找出其它答
案而产生了此扩张题。
当时也没有个人计算机，当时虽然是用硬凑，但也发现
一个拼凑的规律，即一个各圆和相等的填法具有以下的特性：
1. 外围的三数中最大数所对应圆的内围二数必是较小的
二数，外围的三数中最小数所对应圆的内围二数必是较大的
二数；
2. 外围的三数与内围的三数交换必可找出一种填法；
3. 外围的三数的二个间距与内围的三数的二个间距对应
相等。
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包学行( [email protected] )
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.130.89.117]
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