发信人: jeter()
整理人: jeter(2000-03-03 21:54:03), 站内信件
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柯特·哥德尔：不完备的系统
柯特·哥德尔是奥地利人，生于1906年。他有一个开办纺织厂并喜爱逻辑
推理的父亲以及一个热衷于对儿子进行早期教育的母亲。十岁时，哥德尔已经
在学习数学、宗教和几种语言了。到25岁时，他完成了被很多人认为是20世纪
数学理论中最重要的成就：著名的“不完备定理”。哥德尔这一令人惊讶而迷
惑的发现发表于1931年，他证明世界上最伟大的数学家们近一个世纪的努力注
定要以失败告终。
要想欣赏哥德尔的理论，首先要明白当时的数学家们是怎么想的。几百年
以来，数学像一个烂泥潭，模糊的直觉和精确的逻辑相互纠缠共同存在，直到
19世纪数学才最终成形。人们发明了所谓形式系统（最早的例子是罗素和怀特
海的《数学原理》），按照一定的推理规则，定理可以从公理中生成正如枝条
从树干生长出来一样。这个生长过程必需从某个起点开始，公理即源于此，他
们是原始的种子——孕育了所有其它定理的元理论。
数学的这一机械论眼光的美妙之处在于，他完全取消了思维与判断的必要
性。只要公理是一个真的命题并严格遵循推理规则，数学就不会出轨，谬误绝
不会出现。真理是定理的自然产物。
为了清晰起见，形式系统的命题所使用的符号通常是标准的数字、加号、
括号等等，但他们并非必然如此；命题同样可以由表示李子、香蕉、苹果和桔
子的图标来建立，他们甚至可以是任何完全任意的小鸡抓痕的集合——只要给
定的小鸡的抓痕总是并且仅仅出现在某个特定的位置。很显然，这样一个系统
中的数学命题仅仅是由任意符号构造而成的精确结构。很快，包括哥德尔在内
的一些富有洞察力的数学家意识到，以如此眼光看待事物的方式开辟了一个崭
新的数学分支——元数学。数学分析的相似方法可以依赖于模式生成的过程，
它构成了形式系统的本质，数学本身被视为第一个例子。这样数学扭转“身躯”
面对自身，就像一条咬吃自己尾巴的蛇。
哥德尔这一令人惊异的结果是通过将数学用于数学自身得到的。为了理解
这一事实，我们可以想象生活在某个遥远星球（比如火星）上的人用于书写数
学书的所有符号碰巧正是地球人所使用的0到9十个数字。考虑地球上来自欧几
里得的一个命题：“There are infinitely many prime numbers(有无穷多个
素数)”，这个著名发现在火星人的教科书中变成了：“8445329844508787863
070005766619463864545067111”，对我们来说这看上去只是一个46位的数字，
然而对火星人而言它完全不是一个数字而是一个表达了素数的无穷性的命题，
它的含义正如那34个字母构成的6个单词对地球人一样的清晰直白。
现在假定我们要讨论关于数学理论的一般属性，如果我们翻开火星人的教
科书，我们看到的将只是一些数字，所以我们可能会发展一套精确的理论，说
明哪些数字可能（或不可能）出现在火星人的教科书中。当然我们关心的是那
些看上去像数字的字符串而并非真得在谈论数字。可是，对我们来说忘掉它们
原来的数字含义而去理解其相对于火星人的符号意义或许并非轻而易举。
借助于这一简单的视角转换，哥德尔创造了一个深奥的魔幻世界。哥德尔
的方法是研究所谓“火星可生成数字”（那些数字实际上是火星人教科书中的
定理）并提出问题，比如“数字8030974是火星可生成的吗？”这个问题意味
着，命题“8030974”会在火星人的教科书中出现吗？
哥德尔非常仔细地思考了这个相当超现实的情节，很快他意识到：“火星
可生成的（简称M.P.）”这一属性和“素数”、“偶数”等等这些我们所熟悉
的概念差不了多少。所以地球上的数字学家可借助于他们的标准工具处理下面
这些问题，例如“哪些数字是M.P.数字，而哪些不是？”，或者“存在无穷多
的非M.P.数字吗？”地球上的高级数学教材大致也如同火星上一样可能通篇都
是关于M.P.数字的论述。
这样，在数学史上最富智慧的大脑中，哥德尔设计了一个非凡而又简单的
命题：“X不是一个M.P.数”，这里X恰恰是当这句话被翻译成火星上的数学语
言时我们所读到的那个数字。我们需要思考一会儿才能理解它的含义。“X不
是一个M.P.数字”在火星语中看上去将是一个巨大的数字串——一个大数，而
这个大数也正是我们地球上的数字X所指的那个数字（命题自身所谈及的内容）。
这是一个自我相关的命题；一个真正的自我相关！而自我相关是哥德尔的专长，
构造时－空的自我相关、推理的自我相关以及任何其他形式的自我相关。
通过思考以符号形式出现的定理，哥德尔发现形式系统中的命题不仅可以
谈论他自身，而且可以否定其定理本身。这个隐藏于数学理论中的出人意料的
结果非常深奥，令人不知所措、莫明其妙，这对火星人很不利。为什么不利？
因为就像罗素和怀特海一样，火星人一心一意希望他们的形式系统包含全部关
于数学的真命题。如果哥德尔的命题是正确的，那么它就不是而且永远不是火
星人教科书里的一个定理，因为它说（它自身）永远不会在出现在火星人的教
科书中。如果它出现在火星人教科书中，那么它关于其自身的命题就是错误的，
而无论地球人或者是火星人都不会愿意像传授真理一样去传授谎言。
所有这一切的要点在于形式化理想的本身完全是一个空想。所有形式系统
（至少那些足以引人注意的系统）被证明是不完备的，因为他们能够表达一些
涉及其自身的命题，而这些命题说其自身是不可证明的。人们说哥德尔在1931
年证明了“数学理论的不完备性”所指得就是这个意思。这个定理不仅仅适用
于数学本身，而且适用于任何试图将所有真理包含于其有限的公理和规则集合
的形式体系。这对常人而言或许是无所谓的，然而对于20世纪30年代的数学家
来说，它颠倒了他们全部的世界观，这在数学史上是空前的。
哥德尔1931年的论文还有其他一些成果：它发明了递归函数，这构成了现
代计算理论的基础。事实上，哥德尔那篇论文的核心可以被视为一个设计精巧
的生成M.P.数字的计算机程序，这一“程序”所使用的语言很像Lisp程序语言
——一种近30年后才被发明出的计算机语言。
哥德尔其人和他的定理一样古怪，他与他作舞蹈家的妻子于1939年逃离纳
粹统治，在普林斯顿的高级研究院定居下来，在这里他与爱因斯坦共事。哥德
尔在其后半生对细菌传播产生了狂热的兴趣，他强迫自己清洗餐具，无论去哪
里都要戴上一副带有眼洞的滑冰面具。他72岁时因绝食在普林斯顿一家医院去
世。人也正如形式系统一样，尽管威力无比，却注定是不完善的；而那些完美
的事物则无一例外地将以其自身独特的方式而死亡。（潇雪编译）
《北京科技报》1999年6月11日
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当我沉默着的时候，我觉得充实；我将开口，同时感到空虚。
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