精华区 [关闭][返回]

当前位置:网易精华区>>讨论区精华>>科学大观>>● 自然科学>>数学>>微积开与方程筛——包学行(bsese)>>用方程筛证哥氏猜想的试探(二)

主题:用方程筛证哥氏猜想的试探(二)
发信人: bsese()
整理人: bsese(2000-03-30 08:26:23), 站内信件
                  用方程筛证哥氏猜想的试探(二)

                            包学行
                         [email protected]


                      五、 多个二项式的积

    我们来分析一下 s 个二项式的积

    ∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]                        (5.1)

的展开多项式的情况,我们用 X(j) 来表示足标为 j 但还不明确是 A(j)
还是 B(j) 的情况,那么 (5.1) 式的展开多项式的每项应形如

    X(1) X(2) X(3) …… X(s-1) X(s) ,             (5.2)

如果对 (5.1) 式的展开多项式各项作:若 X(j) 为 A(j) 则用 1 表示,
若 X(j) 为 B(j) 用 0 表示的变换,每项将将得到一个 s 位的二进制数,
各项变换所得的二进制数,刚好是 0 到 2^s -1 之间的所有二进制数。为
了能方便地表达这种多项式,特定义下式

    ∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] ,     (5.3)

来表示从 i = 0 到 2^s -1 共 2^s 个项的多项式,每个项是由足标从
j = 1 到 s 共 s 个元的积,(5.3)式中 ( i ,s ) 表示每项 s 个元中
各元选 A(j) 还是选 B(j) 由 i 变换为 s 位的二进制数决定,自 j = 1 
到 s 共 s 个元分别从 s 位的二进制数自低位到高位,如果该位为 1 则选
A(j) ,如果该位为 0 则选 B(j) 。
    (5.3) 式中,对于 i 值确定的某项,可表示为

    ∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] ,                   (5.4)

例如:该项 i = 7 ,s = 3 则可表为

    ∏(j=1, 3 (7, 3))[A(j), B(j)] ,                   (5.5)

或直接用二进制表示为

    ∏(j=1, 3 (111,,3))[A(j), B(j)] ,                 (5.5)

上式中间用连续二个逗号表示前边的数为二进制数。
    那么(5.1)式的展开式可表示为

    ∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]
 
   =∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] ,      (5.6)

下面我们再用数学归纳法证明一下(5.6)式:
    证明:当 s = 2 时,代入 (5.6 ) 式,得

    左边 = ∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]

        = ∏(j=1,2)[A(j) + B(j)]

        = [A(1) + B(1)][A(2) + B(2)]

        = A(1)A(2) + A(1)B(2) + B(1)A(2) + B(1)B(2)

        = ∏(j=1, 2 (11,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=1, 2 (10,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=1, 2 (01,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=1, 2 (00,,2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 3)∏(j=1, 2 (i, 2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 2^2 -1)∏(j=1, 2 (i, 2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] 

        = 右边,                                          (5.7)

s = 2 时(5.6) 式成立。设s = k 时 (5.6) 也成立,有

    ∏(j=1,k)[A(j) + B(j)] 

   =∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)] ,         (5.8)

则当 s = k+1 时,代入(5.6)式有

 ∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]
 
=∏(j=1,k+1)[A(j) + B(j)]
 
=[A(k+1) + B(k+1)]∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
 
=A(k+1)∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]

  +  B(k+1)∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
 
=A(k+1)∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)]

  +  B(k+1)∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)]

=∑(i=0, 2^(k+1) -1)∏(j=1, k+1 (i, k+1))[A(j), B(j)],
                                                    (5.9)

因此 (5.6) 式对任意自然数 s 都成立。

    设 s > q > 1, 及 k >= q + 1 ,同理可证得

  ∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]
 
=∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q, s(i, s-q+1))[A(j), B(j)] ,
                                                   (5.10)

    证明:当 s = q+1 时,代入 (5.10 ) 式,得

    左边 = ∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]

        = ∏(j=q,q+1)[A(j) + B(j)]

        = [A(q) + B(q)][A(q+1) + B(q+1)]

        = A(q)A(q+1) + A(q)B(q+1) + B(q)A(q+1) + B(q)B(q+1)

        = ∏(j=q, q+1 (11,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (10,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (01,,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (00,,2))[A(j), B(j)]

        = ∏(j=q, q+1 (3,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (2,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (1,2))[A(j), B(j)]

          + ∏(j=q, q+1 (0,2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 3)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 2^2 -1)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]

        = ∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q,s (i, s-q+1))[A(j), B(j)] 

        = 右边,                                         (5.11)

s = q+1 时(5.10) 式成立。设 s = k 时 (5.10) 也成立,有

    ∏(j=q,k)[A(j) + B(j)] 

   =∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q, k (i, k-q+1))[A(j), B(j)] ,
                                                         (5.12)

则当 s = k+1 时,代入(5.10)式有

    ∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]
 
   =∏(j=q,k+1)[A(j) + B(j)]
 
   =[A(k+1) + B(k+1)]∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
 
   =A(k+1)∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]

       +  B(k+1)∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
 
   =A(k+1)∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q,k (i,k-q+1))[A(j),B(j)]

     + B(k+1)∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q,k (i,k-q+1))[A(j), B(j)]

   =∑(i=0, 2^(k+1-q+1) -1)∏(j=q,k+1 (i,k+1-q+1))[A(j), B(j)],
                                                         (5.13)

因此 (5.10) 式对任意自然数 s 都成立。


本文的html格式过些天后见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/

--
--------------------------------------
o (转贴请连同标题与作者名一起转贴) o
o           bsese(b77 行)            o
--------------------------------------

※ 来源:.月光软件站 http://www.moon-soft.com.[FROM: 61.130.88.22]

[关闭][返回]