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整理人: bsese(2000-03-30 08:26:23), 站内信件
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用方程筛证哥氏猜想的试探(二)
包学行
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五、 多个二项式的积
我们来分析一下 s 个二项式的积
∏(j=1,s)[A(j) + B(j)] (5.1)
的展开多项式的情况，我们用 X(j) 来表示足标为 j 但还不明确是 A(j)
还是 B(j) 的情况，那么 (5.1) 式的展开多项式的每项应形如
X(1) X(2) X(3) …… X(s-1) X(s) , (5.2)
如果对 (5.1) 式的展开多项式各项作：若 X(j) 为 A(j) 则用 1 表示，
若 X(j) 为 B(j) 用 0 表示的变换，每项将将得到一个 s 位的二进制数，
各项变换所得的二进制数，刚好是 0 到 2^s -1 之间的所有二进制数。为
了能方便地表达这种多项式，特定义下式
∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] , (5.3)
来表示从 i = 0 到 2^s -1 共 2^s 个项的多项式，每个项是由足标从
j = 1 到 s 共 s 个元的积，（5.3）式中 ( i ，s ) 表示每项 s 个元中
各元选 A(j) 还是选 B(j) 由 i 变换为 s 位的二进制数决定，自 j = 1
到 s 共 s 个元分别从 s 位的二进制数自低位到高位，如果该位为 1 则选
A(j) ，如果该位为 0 则选 B(j) 。
(5.3) 式中，对于 i 值确定的某项，可表示为
∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] , (5.4)
例如：该项 i = 7 ，s = 3 则可表为
∏(j=1, 3 (7, 3))[A(j), B(j)] , (5.5)
或直接用二进制表示为
∏(j=1, 3 (111,,3))[A(j), B(j)] , (5.5)
上式中间用连续二个逗号表示前边的数为二进制数。
那么(5.1)式的展开式可表示为
∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]
=∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)] , (5.6)
下面我们再用数学归纳法证明一下(5.6)式：
证明：当 s = 2 时，代入 (5.6 ) 式，得
左边 = ∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]
= ∏(j=1,2)[A(j) + B(j)]
= [A(1) + B(1)][A(2) + B(2)]
= A(1)A(2) + A(1)B(2) + B(1)A(2) + B(1)B(2)
= ∏(j=1, 2 (11,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=1, 2 (10,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=1, 2 (01,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=1, 2 (00,,2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 3)∏(j=1, 2 (i, 2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 2^2 -1)∏(j=1, 2 (i, 2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 2^s -1)∏(j=1, s (i, s))[A(j), B(j)]
= 右边， (5.7)
s = 2 时(5.6) 式成立。设s = k 时 (5.6) 也成立，有
∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
=∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)] , (5.8)
则当 s = k+1 时，代入（5.6）式有
∏(j=1,s)[A(j) + B(j)]
=∏(j=1,k+1)[A(j) + B(j)]
=[A(k+1) + B(k+1)]∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
=A(k+1)∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
+ B(k+1)∏(j=1,k)[A(j) + B(j)]
=A(k+1)∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)]
+ B(k+1)∑(i=0, 2^k -1)∏(j=1, k (i, k))[A(j), B(j)]
=∑(i=0, 2^(k+1) -1)∏(j=1, k+1 (i, k+1))[A(j), B(j)],
(5.9)
因此 (5.6) 式对任意自然数 s 都成立。
设 s > q > 1, 及 k >= q + 1 ，同理可证得
∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]
=∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q, s(i, s-q+1))[A(j), B(j)] ,
(5.10)
证明：当 s = q+1 时，代入 (5.10 ) 式，得
左边 = ∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]
= ∏(j=q,q+1)[A(j) + B(j)]
= [A(q) + B(q)][A(q+1) + B(q+1)]
= A(q)A(q+1) + A(q)B(q+1) + B(q)A(q+1) + B(q)B(q+1)
= ∏(j=q, q+1 (11,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (10,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (01,,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (00,,2))[A(j), B(j)]
= ∏(j=q, q+1 (3,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (2,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (1,2))[A(j), B(j)]
+ ∏(j=q, q+1 (0,2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 3)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 2^2 -1)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q, q+1 (i, 2))[A(j), B(j)]
= ∑(i=0, 2^(s-q+1) -1)∏(j=q,s (i, s-q+1))[A(j), B(j)]
= 右边， (5.11)
s = q+1 时(5.10) 式成立。设 s = k 时 (5.10) 也成立，有
∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
=∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q, k (i, k-q+1))[A(j), B(j)] ,
(5.12)
则当 s = k+1 时，代入（5.10）式有
∏(j=q,s)[A(j) + B(j)]
=∏(j=q,k+1)[A(j) + B(j)]
=[A(k+1) + B(k+1)]∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
=A(k+1)∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
+ B(k+1)∏(j=q,k)[A(j) + B(j)]
=A(k+1)∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q,k (i,k-q+1))[A(j),B(j)]
+ B(k+1)∑(i=0, 2^(k-q+1) -1)∏(j=q,k (i,k-q+1))[A(j), B(j)]
=∑(i=0, 2^(k+1-q+1) -1)∏(j=q,k+1 (i,k+1-q+1))[A(j), B(j)],
(5.13)
因此 (5.10) 式对任意自然数 s 都成立。
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