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主题:用方程筛证哥氏猜想的试探(一)
发信人: bsese()
整理人: bsese(2000-04-06 12:50:37), 站内信件
                      用方程筛证哥氏猜想的试探(一)

                               包学行
                            [email protected]


    (续“用方程筛证哥氏猜想的试探”一文,对“四、 运用数学归纳法前
的准备”一节作补充)

                      四、 运用数学归纳法前的准备

    设 Δ 为任一自然数,则 n + Δ 也为自然数,根据 (2.5) 式 F(n) 与 
F(n+Δ) 都存在,设它们的差为

    FΔ(n, Δ) = F(n+Δ) - F(n),                    (4.1) 

移项,得

    F(n+Δ) =   F(n) + FΔ(n, Δ),                  (4.2)

当 Δ = 2 时,有

    F(n+2) =   F(n) + FΔ(n, 2).                              (4.3)

    为了用数的因数个数函数建立方程筛,需要知道因数个数函数,那么因数
个数函数是什么样子的呢?
    作者1988年至1992年通过反复的推导,找到一种用无穷级数表达的因数
个数函数:

f(n)=∑(T=2,n)(1/T)+2/π{∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]

            +∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } + 1,             (4.5)

    除1与自身外的因数个数函数:

F(n)=∑(T=2,n)(1/T)+2/π{∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]

            +∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } - 1,             (4.6)

    及方程筛:

∑(T=2,n)(1/T)+[2/π]{ ∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]

            +∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } - 1 = 0,         (4.7)

上述(4.4)(4.5)(4.6)式中的

F0 = F0( t, T, n )

      = ( 1 / t )sin( π t / T )cos( 2n π t / T ),                   

 (4.8)

该方程筛的推导过程以后将在我的个人主页 http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/ 上发表,因推导的过程非常长,目前一时
还不能马上发表。
    方程筛虽有无限多项,但可以把 F(n+Δ) 的每项都拆成属于 F(n) 的部
分与属于 FΔ(n, Δ) 的部分。把 (4.8) 式 F0 拆成属于 F(n) 的部分与属
于 FΔ(n, Δ)的部分,则有
         
F0(t,T,n+Δ) = (1/T)sin(πt/T)cos[2(n+Δ)πt/T]

                  = (1/T)sin(πt/T)cos[2( n )πt/T]

                    -(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+Δ)πt/T]

                 = F0(t,T,n) + F0Δ(t,T,n, Δ),           (4.9)

其中

F0Δ(t,T,n, Δ)=  -(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+Δ)πt/T] ,    

                                       (4.10)

当 Δ = 2 时,有

F0(t,T,n,2) = -(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+2)πt/T],            

                                     (4.11)


下面根据 (4.3) 与 (4.6) 式从 F(n+2) 推出其中的 F(n) 与 FΔ(n, 2) ,过程

如下:

  F(n+2) 

=∑(T=2,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[∑(t=1,T-1)F0(t,T,n+2)

  +∑(t=T+1,n+3)F0(t,T,n+2)] +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n+2) } - 1



=∑(T=2,n+2)(1/T)+{∑(T=2,n+2)[∑(t=1,T-1)(F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2))

                   +∑(t=T+1,n+3)( F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2) ) ]

            +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)( F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2) ) } - 1



=∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)

                 +∑(t=T+1,n+3)F0(t,T,n) ]

            +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1

 +∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)

                            +∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]

                    +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) }

=∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)

                            +∑(t=T+1,n+1)F0(t,T,n) ]

            +∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1

               +{ ∑(T=n+1,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)

                            +∑(t=n+2,n+3)F0(t,T,n) ]

            -∑(t=n+2,n+3)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) }

  +∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)

                            +∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]

                    +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) }

= F(t,T,n) + F(t,T,n,2),                                              

                                  (4.12)
       
我们再把 (4.12) 式的最后结果分为二部分,其中:

F(t,T,n) = ∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)

                            +∑(t=T+1,n+1)F0(t,T,n) ]

            +∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1 ,
                                                          (4.13)
 
 
F(t,T,n,2) =  { ∑(T=n+1,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)

                            +∑(t=n+2,n+3)F0(t,T,n) ]

            -∑(t=n+2,n+3)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) }

  +∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)

                            +∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]

                    +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) }  ,
                                                   (4.14)

上 3 式中的 F0(t,T,n) 与 F0Δ(t,T,n,2) 由 (4.8) 式与 (4.11) 式确定。


本文的html格式过些天后见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/


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o (转贴请连同标题与作者名一起转贴) o
o           bsese(b77 行)            o
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※ 修改:.bsese 于 Apr  6 11:12:02 修改本文.[FROM: 61.130.87.105]
※ 来源:.月光软件站 http://www.moon-soft.com.[FROM: 61.130.87.210]

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