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整理人: bsese(2000-03-30 08:25:20), 站内信件
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用方程筛证哥氏猜想的试探
包学行
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一、 因数个数函数
对于任一个自然数 n 总有有限个可整除它的自然数，设为 f 个，则
f 与 n 之间存在一种函数关系。
设自然数 n 的能整除它的因数个数函数为 f(n) ，简称为“因数个数
函数”。
因为个数是一个自然数，用大于 n 的自然数除 n 是不能整除的，所以
有
f(n) <= n , (1.1)
: 例如：
: n = 1 时，只有 1 这 1 个因数， 所以 f(1) = 1 = n;
: n = 2 时，有 1、2 这 2 个因数， 所以 f(2) = 2 = n;
: n = 3 时，有 1、3 这 2 个因数， 所以 f(3) = 2 < n;
: n = 4 时，有 1、2、4 这 3 个因数， 所以 f(4) = 3 < n;
: n = 5 时，有 1、5 这 2 个因数， 所以 f(5) = 2 < n;
: n = 6 时，有 1、2、3、6 这 4 个因数， 所以 f(6) = 4 < n;
: n = 7 时，有 1、7 这 2 个因数， 所以 f(7) = 2 < n;
: n = 8 时，有 1、2、4、8 这 4 个因数， 所以 f(8) = 4 < n;
: n = 9 时，有 1、3、9 这 3 个因数， 所以 f(9) = 3 < n;
: n = 10 时，有 1、2、5、10 这 4 个因数，所以 f(10) = 4 < n;
: …… ；
: …… ；
二、 什么是方程筛
如果一个方程的“解集”为“素数集”，则把这种方程称为“方程
筛”。
目前知道建立方程筛的方法有二种：
一种为根据威尔逊定律建立方程筛；
另一种为用数的因数个数函数建立方程筛。
后一种方法原理如下：
素数只有 1 与自身这 2 个因数，如果 p 为素数集中的任一素数，则
f(p) = 2 ， (2.1)
移项，得
f(p) - 2 = 0 ， （2.2)
这就是用“因数个数函数”建立的方程筛。
下文将用
F(n) = f(n) - 2 , （2.3）
表示自然数 n 的“除 1 与自身外的因数个数函数”，则方程筛可写作
F(p) = 0 ， （2.4）
对于任一自然数 n ，因为它们的因数个数总是多于或等于素数的因数
个数，所以根据 (1.1) 与 (2.3)、(2.4) 式可推得
n - 2 >= F(n) >= 0 ， （2.5）
现虽还不知 F(n)的具体函数形式，但从上式可知“除 1 与自身外的因数个
数函数”值域在正整数域内存在。
三、用方程筛证明哥氏猜想的思路
用方程筛证明哥氏猜想的思路如下：
设 F(p) = 0,为方程筛，2m 为何一大于 4 的偶数，m 为大于 2 的
自然数。
如果哥氏猜想成立，则至少存在一对素数 p1,p2 满足下四式，即
p1 + p2 = 2m, (3.1)
F(p1) = 0, (3.2)
F(p2) = 0, (3.3)
F(p1) + F(p2) = 0, (3.4)
那么我们取遍数对
3, 2m-3;
5, 2m-5;
┉┉
2M-1, 2m-(2M-1); (3.5)
┉┉
2m-5, 5
2m-3, 3
其中M = 2 , 3 , 4 , ┉┉ , m - 1 , 这些数对的其中必有一对为
p1, p2 。
因此根据（2.5) 式，有
F(2M-1) >= 0, (3.6)
F(2m-2M+1) >= 0, (3.7)
F(2M-1) + F(2m-2M+1) >= 0, (3.8)
自 M = 2 至 M = m-1 中一至少有一次 (3.6)、(3.7)、(3.8) 式都等
于 0 , 那么应当可证明
∏(M=2, m-1)[F(2M-1) + F(2m-2M+1)] = 0 ， （3.9）
我们可用数学归纳法，m = 3 时 (3.9) 式成立，设 m = k 时 (3.9)式
也成立，再证明 m = k+1 时 (3.9) 式还成立。
四、 运用数学归纳法前的准备
设 Δ 为任一自然数，则 n + Δ 也为自然数，那么 F(n) 与 F(n+Δ)
都存在，设它们的差为
FΔ(n, Δ) = F(n+Δ) - F(n)， (4.1)
移项，得
F(n+Δ) = F(n) + FΔ(n, Δ)， (4.2)
当 Δ = 2 时，有
F(n+2) = F(n) + FΔ(n, 2). (4.3)
方程筛虽有无限多项，如果能把 F(n+Δ) 的每项都拆成属于 F(n) 的
部分与属于 FΔ(n, Δ) 的部分，例如
F0 = F0(n) = ( 1 / T )sin( π t / T )cos( 2n π t / T ), (4.
4)
（关于 F0 的来源见本讨论区“无穷级数式方程筛”一文。）
则
F0(n+Δ) = (1/T)sin(πt/T)cos[2(n+Δ)πt/T]
= (1/T)sin(πt/T)cos[2( n )πt/T]
-(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+Δ)πt/T]
= F0(n) + F0Δ(n, Δ), (4.5)
F0(n+2) = (1/T)sin(πt/T)cos[2(n+2)πt/T]
= (1/T)sin(πt/T)cos[2nπt/T]
-(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+2)πt/T]
= F0(n) + F0Δ(n, 2). (4.6)
这条思路最后被阻于积阵运算上的困难。
本文的html格式过些天后见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/
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