发信人: eigolomoh(异调)
整理人: 2sinxcosx(2003-10-23 20:59:58), 站内信件
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【 在 jankyi 的大作中提到：】
:为什么是求除以11，除以13，除以17都余-10的最小的四位数？为什么是余-10？
:......
我打个比方，你有8个苹果5个人平分却不准切开来，你会说：“多出来3个”，也有可能你会说：“还少2个”。这两种说法都是对的。所以8被5除的余数（不严格地）可以说成是3，也可以是-2。
当然数学中对余数的定义，严格地来说，余数必须是一个小于除数的非负整数，所以8除以5的余数必须是3而不是-2。但是这里说余-2是广义上的，不严格的说法。所以这题严格地可以这样解：
假设这个数是n，那么因为n除以13余3，所以它可以被写成这样的形式：
n=13k+3，这里k是一个整数。
那么我们取s=k+1，它也是一个整数。n就可以表示为：
n=13s-10 （这就是我所谓的除以13余-10）
于是
n+10=13s
同样地，按照其他两个条件，我们有
n+10=11t
n+10=17p
这里t和p都是整数。
现在我们看见，n+10这个数必须同时是11,13,17的倍数，而这三个数又是两两互素的，就是说每两个数间没有大于1的公约数。于是n+10必须是11*13*17=2431的倍数，即
n+10=2431m
m是个整数。于是
n=2431m-10
很容易明白，对于m取整数的情况，n=2431m-10都是满足“除以11余1，除以13余3，除以17余7”这个条件的。但是题目是要求“最小的四位数”，所以这个m不能取得太小，比如说取0取-1等都不行，成负数了。m取1恰好，答案是2421。如果m再取大点比如说2,3,4等，显然都会比2421大，不符合题意。
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