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主题:Re:除以11余1,除以13余3,除以17余7的最小的四位数是多少?
发信人: eigolomoh(异调)
整理人: 2sinxcosx(2003-10-23 20:59:58), 站内信件
【 在 jankyi 的大作中提到:】
:为什么是求除以11,除以13,除以17都余-10的最小的四位数?为什么是余-10?
:......

我打个比方,你有8个苹果5个人平分却不准切开来,你会说:“多出来3个”,也有可能你会说:“还少2个”。这两种说法都是对的。所以8被5除的余数(不严格地)可以说成是3,也可以是-2。

当然数学中对余数的定义,严格地来说,余数必须是一个小于除数的非负整数,所以8除以5的余数必须是3而不是-2。但是这里说余-2是广义上的,不严格的说法。所以这题严格地可以这样解:

假设这个数是n,那么因为n除以13余3,所以它可以被写成这样的形式:
n=13k+3,这里k是一个整数。
那么我们取s=k+1,它也是一个整数。n就可以表示为:
n=13s-10 (这就是我所谓的除以13余-10)
于是
n+10=13s

同样地,按照其他两个条件,我们有
n+10=11t
n+10=17p
这里t和p都是整数。

现在我们看见,n+10这个数必须同时是11,13,17的倍数,而这三个数又是两两互素的,就是说每两个数间没有大于1的公约数。于是n+10必须是11*13*17=2431的倍数,即
n+10=2431m
m是个整数。于是
n=2431m-10
很容易明白,对于m取整数的情况,n=2431m-10都是满足“除以11余1,除以13余3,除以17余7”这个条件的。但是题目是要求“最小的四位数”,所以这个m不能取得太小,比如说取0取-1等都不行,成负数了。m取1恰好,答案是2421。如果m再取大点比如说2,3,4等,显然都会比2421大,不符合题意。

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