发信人: 2sinxcosx(2sinxcosx)
整理人: 2sinxcosx(2001-10-05 18:08:02), 站内信件
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曼德布罗特集的秘密
D.A．道迪 口述J．P．鲍丁整理
张代宗 译 陈培德 校
一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性。正如南巴黎大学的A．D．道迪向我们讲述的一样，这只是一种二阶多项式，由它却得到了许多新的结果。由Henri Poincare作为先驱的动力系统的研究，属于数学和理论物理学的一个领域，近年来公认有了飞跃的发展。这个。学科的目的在于了解一个决定性系统随时间的演化，该系统可能是力学、化学、经济学的，或是别的什么。然而在最近数月间，涉及一个动力学系统的原型，就是用一个二阶多项式的迭代，所描述的一个特殊类型动力系统取得了若干的进展。
这是指什么呢?原来的定义动力系统演化的规律，使我们能够从该系统?给定时刻的已知状态决定后续时刻的状态。用数学的语言来说，一个集合到其自身映射／的迭代，就构成了一个这样的动力学系统：由某一“初始状态”z。出发，作z1＝f(z。)，然后是z2＝f(z1)，z3f(z2)，等等，这样的序列能表达一个系统在后续的一些正规离散时刻的状态。因此，自Poincare以来，数学家们研究大量重复这一迭代之后发生什么，探索系统在长时间的演化。
由最简单的非线性映射一个二次多项式fc(z)=z*z+c所定义的动力系统，当然是最容易上手的研究对象。然而它们揭示了一些非常值得注意的现象，而把它们搞清楚是理解更复杂的动力系统的前提。这项研究，是我于30年代早期在巴黎高等师范学院与美国Cornell大学的J.H．Hubbard开始合作进行的，比起对只与二次多项式(即使只有相当粗略的)相似的一大类映射都保持有效的大量结果更令人感到兴趣。在刚过了10年的时候，这个主题已产生众多的结果[1]，而初期的规划已几乎完成。…说它是几乎，因为还有一个棘手的问题还在继续研究，但在这最近的6个月内得到的两个结果已使之取得进展。
在70年代中期，一些数学家如美国的J．Milnor曾研究过单实变数二阶多项式的迭代。但后来证实只有放在复数的框架中才有更多的结果。事实上，一个复数z被写成X十iY的形式，其中x和y是实数，就能把它和平面上的一点等同起来，以便从几何的角度考虑问题。此外还可以借助于复分析的丰富宝库，让其中强有力的定理发挥作用。在实数范围内无解的种种问题当置入于复数框架中以后，很快就能找到答案。
现在我们来看看有关动力系统的定义和性质。当对多项式fc(z)：z*z十c(c为给定的复数)进行迭代时，则序列z。,z1,z2,z3,……可能消逝于无穷，而且这过程进行很快，但它们也可能保持有界，即离出发点不超越一个有限的距离。迭代序列保持有界的复数z。的集合叫做所考察的多项式的Julia填充集l’ensemble de Julia remple)(用法国数学家Gaston Julia的姓命名，他与Pierre Fatou在本世纪初曾进行“有理函数”的迭代研究)，这种集记为Kc。集Kc是平面的一个闭于集(即包括它的边界)且有界。(即它的大小有限)，人们称这样的集是“紧”的。可以想象，根据c的值，它的形状具有很大的变化，通常是美丽的；Kc有可能是连通，即它构成单一的一片，也可能是非连通的；而在后一种情况，它完全象粉末一样分散，人们称这是一个Cantor集。若它是连通的，它可能具有一个内部，也可能成为丝状。Julia填充Kc的边界称为Ju1ia集，记作Jc。
研究一个以知多项式的动力学，可从定性和定量两个方面来认识它。定性方面的研究首先包含对它的形式和Ju1ia填充集的几何的刻划，也涉及决定如何通过一系列的迭代把一点从一个区域转移到另一个区域。例如它们可能趋近于一个所谓的吸引不动点(Point fixe attractif)；在每次接近所谓吸引圈(Cyclesttractif)；在每次接近所谓吸引圈(Cycle attractif)的点序列的某一点时，它们也可能由一个区域过渡到另一区域，再到第三区域以便再回到第一区域。
在定量的研究方面，人们可能会对Julia填充集的大小感兴趣。它的测度，首先在一般意义下它的面积或直径，但这个集的边界，通常是分形(fractale)，可能具有面积零。因此人们力求得到另外一种量，分形的维数。这边界是连续迭代混沌性质的所在，在这种情况下，人们不能直接关心到迭代出来的序列所构成的轨迹，而宁可关心它们填充其领域的方式，以及初始邻接的两条轨线互相离开的速度。
从Julia集的类，又引出另一个复平面的子集棗Mandel-brot集(根据名词“分形”(fractale)的创始者Benoit Ma-ndelbrot的姓命名)，它是这样一个集，记为M，是使Julia填充集Kc成为连通集的复数c的集合，这样人们需要区分参数C的平面(M所在的平面)和动力学的平面(变量Z的平面，也是Julia集所在的平面)。
集合M它本身是一个平面紧致集，它又是连通的，这不是一看就明白的。它的内部不是连通的，而是由众多的块片组成，它们或是大心形线、圆周(一个心脏形的曲线)，或更小的和变形的心形线和圆周所界住的区域，其数无穷。
位于M的同一分支上相应c值的Julia集的几何如同其动力学一样，是极其相似的。例如，与大心形域的内点相关联的Julia集，其内部是连通的，并具有一个吸引不动点。
在集M和Julia集类间还存在一个密切和惊人的联系。当c是M的一点，则它也是Julia填充集Kc的一点。而当人们绕着c在M中查看这一区域，然后再到Julia集Jc中去看，人们发现它们是多么相似啊!现在在里昂高等师范学校的一位年轻的中国女学者谭雷，曾在1985年确知，随着人们在这一区域的上方逐渐远离，只须选择一个很好的放大率和旋转一个合适的角度[2]这种相似性会越来越好地得到证实。因此二阶多项式的复变数动力学在变数z和参数c的平面间作定期的往返研究，人们在动力学的领域辛劳，同时也在参数的领域收获。
这个研究主题的主要困难在于对Julia集以及Mande1brot集的研究所需利用的复分析定理，其对后者所求的拓扑必须不是太奇特的。这些集当然是不正规的，因为它们的边界是一些分形曲线，但也不至于太过份，它们似乎应是“局部连通的”。一个在平面上的连通集E不是局部连通的，若它在某一点P表现如下的“病态”：不管以P为中心的圆多么小，集E在这圆内的部分总是由多个片块组成。一个具体的例于是“梳子”，它的基底是水平的区间[0，1]，而它的垂直的齿，位于横标值1，1/2，1/3，1/4……处，无穷地密聚在左端。容易看到这个集在位于第一齿处，即位于横标为O的地方(除了梳子基底上的点外)不是局部连通的。
作出一个不是局部连通的特殊Ju1ia集人们知道这是可以办得到的。但是人们希望棗这是我和Hubbard 1980年提出的一个“大胆的猜想”，棗即Mandelbrot集本身是局部连通的。然而最近数月，实际上在南巴黎大学的J．C．Yoccoz，证明了几乎所有的点(其意义将明确表达),M确实是局部连通的[3]。在Hubbard和哥本哈根技术大学的Bodi1 Branner在关于一个三阶多项式的启发下，他首先征明了对应于“好”点的Julia集是局部连通的，最后用惊人的绝技成功地将这一结果转移到参数平面上。
为了定义M中那些使问题还没有得到解决的点，需要回顾M的一个奇异的特性，其本身包含了一些在高度放大下可以看到的一些它自己(变形的)小的复本。位于小复本上M的一个点叫做可重整化(renorma1isable)，但这些复本包含了同样的更小得多的复本！一个点因此可一次、二次、…、无限多次可重整化。使M有可能不局部连通的仅有点就是那些无限多次可重整化的点。更好些，这些定理实际也能解决这些点局部连通问题，若人们能保证一个复件的单调下降无限序列的交归宿到一个点。但人们不知道如何证明它！
若这一猜想被得到证明，人们就将对Mandelbrot集和Julia集的拓扑，因而对二阶复多项式的动力学有了大致的了解。仍然有一些定量方面的问题需要处理，但同样地也有了一些进展。这就是东京工业大学的仓光底，最近提出了M边界的分形维数等于2[4]。这一结果证明了这一边界几乎如一个通常的曲面来占有空间，可是这边界的面积按照各种可能性说来是零。但这最后一点是一个等待证明的猜想……
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