发信人: eigolomoh(异调)
整理人: eigolomoh(2001-07-13 18:30:57), 站内信件
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作 者: BK@GZ() 2000-11-02 16:26:38
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标 题: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov 2 16:26:38 2000), 站内信件
理由?
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作 者: jeter@GZ() 2000-11-02 23:43:40
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov 2 23:43:40 2000), 站内信件
按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样
多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少。附一张
先前的帖子供参考：
发信人: jeter (云胡不归), 信区: Science
标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Oct 12 00:41:23 2000), 站内信件
接着异调兄说的再胡云几句，不对之处请异调兄多多指正：
在柯西、魏尔斯特拉斯开始把微积分建立在严格的基础之上（主要是以数学
语言明确了极限和连续性概念）后，康托更使数学进入了一个“反直觉”的
新天地，要将微积分建立在集合论的严格基础上，考虑集合的大小——包含
元素的多少，如果两个集合包含相同多元素，称它们是等价的，或等势的、
或基数相同。对于有限集合，可以数数其中元素个数进行比较，而对于无穷
集合，这么做显然不行，不过判断它们是否等价另有一个办法，就是“一一
对应”——如果两个集合中的元素可以按一定规则一一对应起来，那么这两
个集合就是等价的。
出于直觉（还未经集合论熏陶过的直觉:P）很容易想到，奇数集合与偶数集
合是等价的，而自然数集合就比奇数或偶数集合大——是它们的两倍，但是
集合论却指出，自然数集合并不比奇数或偶数集合大，通过建立严格的一一
对应关系，它们同样等价：
自然数集合：1 2 3 4 5 6 ......
奇数集合： 1 3 5 7 9 11 ......
偶数集合： 2 4 6 8 10 12 ......
进而有理数集合与自然数集合也可以建立一一对应关系，它们也等价，称为
可数无穷集；无理数集合、实数集合就不行了。可以说，在数轴上有理数是
“稠密”的，任何两个无理数之间都有无穷多个有理数（当然任何两个有理
数之间也有无穷多个无理数），但有理数更是“稀疏”的，如果我们能够在
数轴上任取一点并判断它是否有理数，那得到有理数的概率几乎为零。
再看看实数集合，考虑一条直线上的点，和线上一个区间内的点，究竟谁多
谁少呢？显然直线上的点比一个区间内的点多无数倍——不幸的是，这里的
“显然”错了。仍旧可以通过一一对应法则判断它们等价，也就是说，它们
包含有同样多的点，甚至，一个平面、一个空间中的点也并不比一条直线或
一个区间上的点多，它们都等价。
对此连康托自己都曾不禁惊叹：“I see it, but I don't believe it!”
不过不管信不信，严格的数学事实就是如此。
数学是一个创造奇迹的世界，我觉得有两本数学科普书的名字非常好：数学
——“确定性的丧失”和“天才引导的历程”，这里的确定性，意思并非指
严格性、准确性，而是指一种“理所当然性”，或许不妨说是“想当然耳的
丧失”。
又及，高中时我在一个同学家看到一本书，伽莫夫的《从一到无穷大》，从
里边第一次领略了集合论的这种反直觉，那本书写得真好，可惜我借了书却
没读完，而且一念之仁又还了回去，痛悔至今。
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 这个问题没有那么神秘，它的最终答案我已经说过了，就是不存在这
: 么个数学幽灵，或者说“任一数右边不存在第一个有理数，也就是说
: 她找不到她的定居点。”
: ......
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M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-03 00:15:40
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 3 00:15:40 2000), 站内信件
原来对云胡兄的这个帖子写了点东西，结果拖了几下就没帖，这回趁
机抛出来。张远山的癌变文章里就有对这个问题的错误理解。我承认
骂他骂过头了，按王小波的话说，他至少是个知道“有趣”的人，比
何满子之流好到不知哪里去。不过公众人物，又不是网友，骂骂也无
妨:-)
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云胡兄讲的都很正确，我只顺着扯两句。集合论里定义两个无穷集合的
大小的方法，也是非常自然而然的。给你五个苹果六个梨，问是苹果多
还是梨多，你自然可以先数数苹果再数数梨，再用5<6来得到梨比苹果多。
可要是给你几千个梨和苹果，最好的方法就不是数数了，因为很可能数
错。最好的方法是从苹果堆和梨堆里一对一对（一个苹果一个梨）地往
外拿，最后要是苹果拿完梨还没拿完，那就是梨多了，其它情况也类似。
这就是一一对应的思想。所以这是很自然的方法，只是会推出和普通的
直觉不一致的结论，但它并不会推出矛盾。相反普通直觉会产生一些模
糊不清的观点，比如所有平方数（就是1,4,9,25……）的个数和所有偶
数，所有素数，所有立方数等等的个数怎么比较？如果0也算自然数（布
尔巴基的观点），那么偶数的个数就比奇数多1？
另外有一点，就是理解数学概念时一定要从严格的定义上来理解，数学
名词经常和平时使用的日常用语相同，可是意义一般有很大的区别，所
以在没有理解数学名词以前，不要用日常的观念来想当然。比如云胡兄
说的“在数轴上有理数是‘稠密’的，任何两个无理数之间都有无穷多
个有理数（当然任何两个有理数之间也有无穷多个无理数），但有理数
更是‘稀疏’的，如果我们能够在数轴上任取一点并判断它是否有理数，
那得到有理数的概率几乎为零。”这里“稠密”和“稀疏”都是有它们
自己的意义的，是从不同角度来看问题的，你不能说：“既稠密又稀疏，
所以矛盾，所以荒谬。”不过这里我要稍微纠正一下云胡兄的提法：既
然“稠密”和“稀疏”是从不同角度来看问题，所以也谈不上“*更*是
‘稀疏’的”，另外，关于“稀疏”，一般的提法是有理数集合的勒贝
格测度为0，也就是所谓的“几乎所有实数都是无理数”，这里“几乎所
有”，也是有严格定义的:-)
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样
: 多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少。附一张
: 先前的帖子供参考：
:
: .......
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作 者: jeter@GZ() 2000-11-03 01:01:40
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 3 01:01:40 2000), 站内信件
分特，挑我字眼，我用的时候已经打了引号，那就摆明了是我个人加工过的，
还有，“长亭更短亭”怎么说啊？勒贝格测度我倒曾经瞄了一眼，不过立马就
知趣玩大富翁去了。何满子是无趣一点，终归还不如余秋雨余杰之流，“无趣
基数”怕也不存在最大值的。
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 原来对云胡兄的这个帖子写了点东西，结果拖了几下就没帖，这回趁
: 机抛出来。张远山的癌变文章里就有对这个问题的错误理解。我承认
: 骂他骂过头了，按王小波的话说，他至少是个知道“有趣”的人，比
: 何满子之流好到不知哪里去。不过公众人物，又不是网友，骂骂也无
: 妨:-)
: .......
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作 者: BK@GZ() 2000-11-03 18:03:06
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 3 18:03:06 2000), 站内信件
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样
: 多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少。附一张
: 先前的帖子供参考：
:
: .......
观点不敢苟同。
一一对应似乎不合适用来做比较，举个反例：
两条长度不同的直线比较长度，若用一一对应的方法，把直线看成是点的集合，
则：
长线上的任意一点，可按其位置对应到短线上的一个点，比如在长线全长的37
%
处一点对应短线全长的37%处一点。
如此一来，长线和短线成了一样长。
同样，无穷大和无穷大比较，用一一对应法的话，全部都相等，而实际上是不等
的。
整数集数/偶数集数=2 是同阶无穷大，整数平方集/整数集=0，是低阶无穷大，
那么，有理数集/无理数集=？ 感觉应该是0，有理数好像“稀疏”一些，因为
随便写一个小数，循环的概率比不循环的要小的多。
不过这样的理由好像并不充分。
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M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-03 23:58:36
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 3 23:58:36 2000), 站内信件
【 在 BK (老K) 的大作中提到: 】
: 观点不敢苟同。
:
: 一一对应似乎不合适用来做比较，举个反例：
:
: 两条长度不同的直线比较长度，若用一一对应的方法，把直线看成是点的集合，
:
: 则：
: 长线上的任意一点，可按其位置对应到短线上的一个点，比如在长线全长的37
: %
: 处一点对应短线全长的37%处一点。
: 如此一来，长线和短线成了一样长。
你这是在说谁长，不是在说谁的里面包含的点多，这是两码事。如果
要这么直观地讨论问题的话，我也可以举个例子，要是把一根橡皮筋
拉得是它原来的两倍那么长，长是长了，点却没多。
: 同样，无穷大和无穷大比较，用一一对应法的话，全部都相等，而实际上是不等
: 的。
无穷大和无穷大比较，用一一对应法的话，并不全部都相等，比如自
然数和实数之间就不能一一对应。这就是康托的伟大发现。
:
: 整数集数/偶数集数=2 是同阶无穷大，整数平方集/整数集=0，是低阶无穷大，
什么叫两个集合的除法？你的定义是什么？什么叫同阶无穷大低阶无
穷大？不要和数学分析里面的内容搞混了，那里的同阶无穷大等等是
指函数或者数列趋向无穷大时的速度，是一种“潜无穷”，而无穷集
合的势，或者大小，是一种“实无穷”，两者根本不是一回事。
我还是老话，理解数学概念时一定要从严格的定义上来理解，没有理
解数学名词以前，不要用日常的观念来想当然。我有一种简单的方法
来严格地定义某些自然数的子集合的“大小”，使得整数集数/偶数集数=2，
整数平方集/整数集=0，可是我不想在这里说。我要说的是，当你下一
个结论时，你必须知道你自己在说什么。整数集合里的元素可以和偶
数集合里的元素一样多，也可以比偶数集合里的元素多一倍，如果极
端一点，我还可以说比偶数集合里的元素少，这完全取决于你怎么定
义“多少”或集合的大小。
那么如果我们不说这个多少大小的定义，问整数集合里的元素比偶数
集合里的元素多还是少，我们只能取最普遍的定义，也就是集合论里
的定义了。
:
: 那么，有理数集/无理数集=？ 感觉应该是0，有理数好像“稀疏”一些，因为
: 随便写一个小数，循环的概率比不循环的要小的多。
: 不过这样的理由好像并不充分。
还是老话，给我你的用概率定义的集合大小的概念。
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作 者: bsese@GZ() 2000-11-08 12:39:18
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Wed Nov 8 12:39:18 2000), 站内信件
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样
: 多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少。附一张
: 先前的帖子供参考：
:
: .......
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 任何两个无理数之间都有无穷多个有理数
: （当然任何两个有理数之间也有无穷多个无理数），
如果无理数比有理数的势高，那么（任何两个有理数之间有无穷
多个无理数）可成立，但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数，
不一定总成立，必定存在非常靠近的二个无理数，它们之间不会再有
有理数 介于它们之间。
--
包学行( [email protected] )
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作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-08 17:05:28
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Wed Nov 8 17:05:28 2000), 站内信件
老包，什么事情都不能想当然，你觉得不行就不行。要下结论也得证明一下
才行。
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: : 按照现代集合论观点，有理数与整数一样多（也与自然数、偶数或奇数一样
: : 多），无理数与实数一样多；整数比实数少，有理数也比无理数少。附一张
: : 先前的帖子供参考：
: .......
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作 者: bsese@GZ() 2000-11-09 12:29:12
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov 9 12:29:12 2000), 站内信件
如果无理数比有理数的势高，那么（任何两个有理数之间有无穷
多个无理数）可成立，但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数，
不一定总成立，必定存在非常靠近的二个无理数，它们之间不会再有
有理数 介于它们之间。
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 老包，什么事情都不能想当然，你觉得不行就不行。
: 要下结论也得证明一下才行。
证明：
要证明这个命题需要从实无限去证。
1. 实数在数轴上连续，在数轴上任取一点，将有2.与3.二种情况；
2. 若该点为有理数，因有理数不连续，再取右则（也可用左则）紧相
连的一点必为无理数，用新邻点取代原选点，可转入3.；
3. 若该点为无理数，再取右则紧相连的一点，将有4.与5.二种情况；
4. 若该点为有理数，因有理数不连续，再取右则紧相连的一点必为无
理数，又可转入3.；
5. 若该点仍为无理数，那么就存在该二个无理数之间就不存在有理数；
6. 如果从3.总是不进入5.而转入4.，则由3. 4. 3. 4. 3. 4. 3. ……
的循环中将得到数轴上有理数点与无理数点是穿插排列的，那么将得
到有理数与无理数一样多的结论。
因此就证明了：
以下二个结论中仅有一个成立
7. 存在非常靠近的二个无理数，它们之间不再穿插有理数；
8. 有理数与无理数一样多。
根据目前数学界的公认的“无理数比有理数多”，应当是否定8.；
根据“任何两个无理数之间都有无穷多个有理数”，应当是否定7.；
请异调兄指教。
--
包学行( [email protected] )
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作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-09 17:42:11
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov 9 17:42:11 2000), 站内信件
不是早就说过了，没有什么“右则（左则）紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧
相连的一点”是b，你叫(a+b)/2住到哪里去？
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 如果无理数比有理数的势高，那么（任何两个有理数之间有无穷
: 多个无理数）可成立，但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数，
: 不一定总成立，必定存在非常靠近的二个无理数，它们之间不会再有
: 有理数 介于它们之间。
: .......
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作 者: bsese@GZ() 2000-11-10 13:13:27
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 10 13:13:27 2000), 站内信件
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 不是早就说过了，没有什么“右则（左则）紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧
: 相连的一点”是b，你叫(a+b)/2住到哪里去？
谢谢异调兄的回复。
我感到实数系统的构造太遗憾了，一方面实数在数轴上连续，
另一方面任一实数又找不到自己的紧相连的邻点。
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包学行( [email protected] )
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作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-10 16:56:37
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 10 16:56:37 2000), 站内信件
为什么要遗憾呢？实数的结构还算是非常“正常”的，如果包兄看了
拓朴里那各种各样的“紧集”的定义，和各种反例，就至少不会对实
数有什么遗憾了:-)可这也是数学美丽的一方面呀！你要旅行看风景，
也不会挑个平常无奇的地方吧。
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: : 不是早就说过了，没有什么“右则（左则）紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧
: : 相连的一点”是b，你叫(a+b)/2住到哪里去？
:
: .......
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作 者: bsese@GZ() 2000-11-11 15:10:40
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标 题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Sat Nov 11 15:10:40 2000), 站内信件
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 为什么要遗憾呢？实数的结构还算是非常“正常”的，如果包兄看了
: 拓朴里那各种各样的“紧集”的定义，和各种反例，就至少不会对实
: 数有什么遗憾了:-)可这也是数学美丽的一方面呀！你要旅行看风景，
: 也不会挑个平常无奇的地方吧。
: .......
取任一无理数 w 将有理数集分为小于 w 的子有理数集 P，
与大于 w 的子有理数集 Q ；
现在问题是：
是否存在另一个无理数 w2 ，能满足 P 中所有的有理数都小
于 w2 ，并 Q 中所有的有理数都大于 w2 呢？
1. 设这样的无理数 w2 存在，即以 w2 为界将有理数集分
为二个子有理数集与原以 w 为界划分结果是一样的；
2. 设任何两个无理数之间都或有无穷多个有理数，或有有限
个有理数，或至少有一个有理数；
3. 根据 1. 与 2. 则 w 与 w2 之间存在有理数，那么这些有
理数以 w 与以 w2 为界划分子有理数集将会分在不同的子集中，
因此 1. 与 2. 中至少有一个是错误的；
4. 若设 2. 是正确的，1. 是错误的，则在子有理数集 P 与
Q 之间交界处只有一个无理数 w ，那么任何无理数 w 的二侧邻点
为有理数，这将得出有理数个数大于或至少等于无理数个数；
5. 若设 1. 是正确的，2. 是错误的，则存在无理数 w 与 w2
二者之间不存在任何有理数。
到底应选 4. 还是 5. 请异调兄指教。
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包学行( [email protected] )
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