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主题:有理数多还是无理数多?(讨论版)
发信人: eigolomoh(异调)
整理人: eigolomoh(2001-07-13 18:30:57), 站内信件
 作 者: BK@GZ() 2000-11-02 16:26:38
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标  题: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov  2 16:26:38 2000), 站内信件

理由?

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 作 者: jeter@GZ() 2000-11-02 23:43:40
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov  2 23:43:40 2000), 站内信件

按照现代集合论观点,有理数与整数一样多(也与自然数、偶数或奇数一样 
多),无理数与实数一样多;整数比实数少,有理数也比无理数少。附一张 
先前的帖子供参考: 


发信人: jeter (云胡不归), 信区: Science 
标  题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵 
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Oct 12 00:41:23 2000), 站内信件 

接着异调兄说的再胡云几句,不对之处请异调兄多多指正: 

在柯西、魏尔斯特拉斯开始把微积分建立在严格的基础之上(主要是以数学 
语言明确了极限和连续性概念)后,康托更使数学进入了一个“反直觉”的 
新天地,要将微积分建立在集合论的严格基础上,考虑集合的大小——包含 
元素的多少,如果两个集合包含相同多元素,称它们是等价的,或等势的、 
或基数相同。对于有限集合,可以数数其中元素个数进行比较,而对于无穷 
集合,这么做显然不行,不过判断它们是否等价另有一个办法,就是“一一 
对应”——如果两个集合中的元素可以按一定规则一一对应起来,那么这两 
个集合就是等价的。 

出于直觉(还未经集合论熏陶过的直觉:P)很容易想到,奇数集合与偶数集 
合是等价的,而自然数集合就比奇数或偶数集合大——是它们的两倍,但是 
集合论却指出,自然数集合并不比奇数或偶数集合大,通过建立严格的一一 
对应关系,它们同样等价: 

自然数集合:1  2  3  4  5  6  ...... 
奇数集合:  1  3  5  7  9 11  ...... 
偶数集合:  2  4  6  8 10 12  ...... 

进而有理数集合与自然数集合也可以建立一一对应关系,它们也等价,称为 
可数无穷集;无理数集合、实数集合就不行了。可以说,在数轴上有理数是 
“稠密”的,任何两个无理数之间都有无穷多个有理数(当然任何两个有理 
数之间也有无穷多个无理数),但有理数更是“稀疏”的,如果我们能够在 
数轴上任取一点并判断它是否有理数,那得到有理数的概率几乎为零。 

再看看实数集合,考虑一条直线上的点,和线上一个区间内的点,究竟谁多 
谁少呢?显然直线上的点比一个区间内的点多无数倍——不幸的是,这里的 
“显然”错了。仍旧可以通过一一对应法则判断它们等价,也就是说,它们 
包含有同样多的点,甚至,一个平面、一个空间中的点也并不比一条直线或 
一个区间上的点多,它们都等价。 

对此连康托自己都曾不禁惊叹:“I see it, but I don't believe it!” 
不过不管信不信,严格的数学事实就是如此。 

数学是一个创造奇迹的世界,我觉得有两本数学科普书的名字非常好:数学 
——“确定性的丧失”和“天才引导的历程”,这里的确定性,意思并非指 
严格性、准确性,而是指一种“理所当然性”,或许不妨说是“想当然耳的 
丧失”。 

又及,高中时我在一个同学家看到一本书,伽莫夫的《从一到无穷大》,从 
里边第一次领略了集合论的这种反直觉,那本书写得真好,可惜我借了书却 
没读完,而且一念之仁又还了回去,痛悔至今。 


【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】 
: 这个问题没有那么神秘,它的最终答案我已经说过了,就是不存在这 
: 么个数学幽灵,或者说“任一数右边不存在第一个有理数,也就是说 
: 她找不到她的定居点。” 
:     ......

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 M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-03 00:15:40
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov  3 00:15:40 2000), 站内信件

原来对云胡兄的这个帖子写了点东西,结果拖了几下就没帖,这回趁 
机抛出来。张远山的癌变文章里就有对这个问题的错误理解。我承认 
骂他骂过头了,按王小波的话说,他至少是个知道“有趣”的人,比 
何满子之流好到不知哪里去。不过公众人物,又不是网友,骂骂也无 
妨:-) 

============================================================== 
云胡兄讲的都很正确,我只顺着扯两句。集合论里定义两个无穷集合的 
大小的方法,也是非常自然而然的。给你五个苹果六个梨,问是苹果多 
还是梨多,你自然可以先数数苹果再数数梨,再用5<6来得到梨比苹果多。
可要是给你几千个梨和苹果,最好的方法就不是数数了,因为很可能数
错。最好的方法是从苹果堆和梨堆里一对一对(一个苹果一个梨)地往
外拿,最后要是苹果拿完梨还没拿完,那就是梨多了,其它情况也类似。
这就是一一对应的思想。所以这是很自然的方法,只是会推出和普通的
直觉不一致的结论,但它并不会推出矛盾。相反普通直觉会产生一些模
糊不清的观点,比如所有平方数(就是1,4,9,25……)的个数和所有偶
数,所有素数,所有立方数等等的个数怎么比较?如果0也算自然数(布
尔巴基的观点),那么偶数的个数就比奇数多1?

另外有一点,就是理解数学概念时一定要从严格的定义上来理解,数学
名词经常和平时使用的日常用语相同,可是意义一般有很大的区别,所
以在没有理解数学名词以前,不要用日常的观念来想当然。比如云胡兄
说的“在数轴上有理数是‘稠密’的,任何两个无理数之间都有无穷多
个有理数(当然任何两个有理数之间也有无穷多个无理数),但有理数
更是‘稀疏’的,如果我们能够在数轴上任取一点并判断它是否有理数,
那得到有理数的概率几乎为零。”这里“稠密”和“稀疏”都是有它们
自己的意义的,是从不同角度来看问题的,你不能说:“既稠密又稀疏,
所以矛盾,所以荒谬。”不过这里我要稍微纠正一下云胡兄的提法:既
然“稠密”和“稀疏”是从不同角度来看问题,所以也谈不上“*更*是
‘稀疏’的”,另外,关于“稀疏”,一般的提法是有理数集合的勒贝
格测度为0,也就是所谓的“几乎所有实数都是无理数”,这里“几乎所
有”,也是有严格定义的:-)

【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 按照现代集合论观点,有理数与整数一样多(也与自然数、偶数或奇数一样 
: 多),无理数与实数一样多;整数比实数少,有理数也比无理数少。附一张 
: 先前的帖子供参考: 
:  
:    ....... 


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 作 者: jeter@GZ() 2000-11-03 01:01:40
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov  3 01:01:40 2000), 站内信件

分特,挑我字眼,我用的时候已经打了引号,那就摆明了是我个人加工过的, 
还有,“长亭更短亭”怎么说啊?勒贝格测度我倒曾经瞄了一眼,不过立马就 
知趣玩大富翁去了。何满子是无趣一点,终归还不如余秋雨余杰之流,“无趣 
基数”怕也不存在最大值的。 


【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】 
: 原来对云胡兄的这个帖子写了点东西,结果拖了几下就没帖,这回趁 
: 机抛出来。张远山的癌变文章里就有对这个问题的错误理解。我承认 
: 骂他骂过头了,按王小波的话说,他至少是个知道“有趣”的人,比 
: 何满子之流好到不知哪里去。不过公众人物,又不是网友,骂骂也无 
: 妨:-) 
:    .......

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 作 者: BK@GZ() 2000-11-03 18:03:06
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov  3 18:03:06 2000), 站内信件

【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】 
: 按照现代集合论观点,有理数与整数一样多(也与自然数、偶数或奇数一样 
: 多),无理数与实数一样多;整数比实数少,有理数也比无理数少。附一张 
: 先前的帖子供参考: 
:  
:    ....... 

观点不敢苟同。 

一一对应似乎不合适用来做比较,举个反例: 

两条长度不同的直线比较长度,若用一一对应的方法,把直线看成是点的集合,

则: 
  长线上的任意一点,可按其位置对应到短线上的一个点,比如在长线全长的37

  处一点对应短线全长的37%处一点。 
  如此一来,长线和短线成了一样长。 
同样,无穷大和无穷大比较,用一一对应法的话,全部都相等,而实际上是不等
的。 

整数集数/偶数集数=2 是同阶无穷大,整数平方集/整数集=0,是低阶无穷大, 

那么,有理数集/无理数集=? 感觉应该是0,有理数好像“稀疏”一些,因为 
随便写一个小数,循环的概率比不循环的要小的多。 
不过这样的理由好像并不充分。 

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 M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-03 23:58:36
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov  3 23:58:36 2000), 站内信件

【 在 BK (老K) 的大作中提到: 】 
: 观点不敢苟同。  

: 一一对应似乎不合适用来做比较,举个反例:  

: 两条长度不同的直线比较长度,若用一一对应的方法,把直线看成是点的集合,  
:  
: 则:  
:   长线上的任意一点,可按其位置对应到短线上的一个点,比如在长线全长的37  
: %  
:   处一点对应短线全长的37%处一点。  
:   如此一来,长线和短线成了一样长。  
你这是在说谁长,不是在说谁的里面包含的点多,这是两码事。如果 
要这么直观地讨论问题的话,我也可以举个例子,要是把一根橡皮筋 
拉得是它原来的两倍那么长,长是长了,点却没多。 
: 同样,无穷大和无穷大比较,用一一对应法的话,全部都相等,而实际上是不等  
: 的。  
无穷大和无穷大比较,用一一对应法的话,并不全部都相等,比如自 
然数和实数之间就不能一一对应。这就是康托的伟大发现。 
:  
: 整数集数/偶数集数=2 是同阶无穷大,整数平方集/整数集=0,是低阶无穷大,  
什么叫两个集合的除法?你的定义是什么?什么叫同阶无穷大低阶无 
穷大?不要和数学分析里面的内容搞混了,那里的同阶无穷大等等是 
指函数或者数列趋向无穷大时的速度,是一种“潜无穷”,而无穷集 
合的势,或者大小,是一种“实无穷”,两者根本不是一回事。 

我还是老话,理解数学概念时一定要从严格的定义上来理解,没有理 
解数学名词以前,不要用日常的观念来想当然。我有一种简单的方法 
来严格地定义某些自然数的子集合的“大小”,使得整数集数/偶数集数=2, 
整数平方集/整数集=0,可是我不想在这里说。我要说的是,当你下一 
个结论时,你必须知道你自己在说什么。整数集合里的元素可以和偶 
数集合里的元素一样多,也可以比偶数集合里的元素多一倍,如果极 
端一点,我还可以说比偶数集合里的元素少,这完全取决于你怎么定 
义“多少”或集合的大小。 

那么如果我们不说这个多少大小的定义,问整数集合里的元素比偶数 
集合里的元素多还是少,我们只能取最普遍的定义,也就是集合论里 
的定义了。 
:  
: 那么,有理数集/无理数集=? 感觉应该是0,有理数好像“稀疏”一些,因为  
: 随便写一个小数,循环的概率比不循环的要小的多。  
: 不过这样的理由好像并不充分。   
还是老话,给我你的用概率定义的集合大小的概念。

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 作 者: bsese@GZ() 2000-11-08 12:39:18
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Wed Nov  8 12:39:18 2000), 站内信件

【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】 
: 按照现代集合论观点,有理数与整数一样多(也与自然数、偶数或奇数一样 
: 多),无理数与实数一样多;整数比实数少,有理数也比无理数少。附一张 
: 先前的帖子供参考: 
:  
:    ....... 

【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】  
: 任何两个无理数之间都有无穷多个有理数 
: (当然任何两个有理数之间也有无穷多个无理数), 

    如果无理数比有理数的势高,那么(任何两个有理数之间有无穷 
多个无理数)可成立,但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数, 
不一定总成立,必定存在非常靠近的二个无理数,它们之间不会再有 
 有理数 介于它们之间。 


--
包学行( [email protected] ) 

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 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-08 17:05:28
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Wed Nov  8 17:05:28 2000), 站内信件

老包,什么事情都不能想当然,你觉得不行就不行。要下结论也得证明一下 
才行。 

【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】 
: 【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】 
: : 按照现代集合论观点,有理数与整数一样多(也与自然数、偶数或奇数一样 
: : 多),无理数与实数一样多;整数比实数少,有理数也比无理数少。附一张 
: : 先前的帖子供参考: 
:    ....... 


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 作 者: bsese@GZ() 2000-11-09 12:29:12
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov  9 12:29:12 2000), 站内信件

    如果无理数比有理数的势高,那么(任何两个有理数之间有无穷  
多个无理数)可成立,但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数,  
不一定总成立,必定存在非常靠近的二个无理数,它们之间不会再有  
 有理数 介于它们之间。  

【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】  
: 老包,什么事情都不能想当然,你觉得不行就不行。 
: 要下结论也得证明一下才行。  

证明: 

要证明这个命题需要从实无限去证。 
1. 实数在数轴上连续,在数轴上任取一点,将有2.与3.二种情况; 
2. 若该点为有理数,因有理数不连续,再取右则(也可用左则)紧相 
  连的一点必为无理数,用新邻点取代原选点,可转入3.; 
3. 若该点为无理数,再取右则紧相连的一点,将有4.与5.二种情况; 
4. 若该点为有理数,因有理数不连续,再取右则紧相连的一点必为无 
  理数,又可转入3.; 

5. 若该点仍为无理数,那么就存在该二个无理数之间就不存在有理数; 

6. 如果从3.总是不进入5.而转入4.,则由3. 4. 3. 4. 3. 4. 3. …… 
  的循环中将得到数轴上有理数点与无理数点是穿插排列的,那么将得 
  到有理数与无理数一样多的结论。 

因此就证明了: 
   以下二个结论中仅有一个成立 
7. 存在非常靠近的二个无理数,它们之间不再穿插有理数; 
8. 有理数与无理数一样多。 
  
    根据目前数学界的公认的“无理数比有理数多”,应当是否定8.; 
根据“任何两个无理数之间都有无穷多个有理数”,应当是否定7.; 
请异调兄指教。 

--
包学行( [email protected] ) 

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 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-09 17:42:11
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Nov  9 17:42:11 2000), 站内信件

不是早就说过了,没有什么“右则(左则)紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧
相连的一点”是b,你叫(a+b)/2住到哪里去? 

【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】 
:     如果无理数比有理数的势高,那么(任何两个有理数之间有无穷  
: 多个无理数)可成立,但任何两个无理数之间都有无穷多个有理数,  
: 不一定总成立,必定存在非常靠近的二个无理数,它们之间不会再有  
:  有理数 介于它们之间。  
:    ....... 


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 作 者: bsese@GZ() 2000-11-10 13:13:27
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 10 13:13:27 2000), 站内信件

【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】 
: 不是早就说过了,没有什么“右则(左则)紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧 
: 相连的一点”是b,你叫(a+b)/2住到哪里去? 

    谢谢异调兄的回复。 
    我感到实数系统的构造太遗憾了,一方面实数在数轴上连续, 
另一方面任一实数又找不到自己的紧相连的邻点。 



--
包学行( [email protected] ) 

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 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-11-10 16:56:37
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Nov 10 16:56:37 2000), 站内信件

为什么要遗憾呢?实数的结构还算是非常“正常”的,如果包兄看了 
拓朴里那各种各样的“紧集”的定义,和各种反例,就至少不会对实 
数有什么遗憾了:-)可这也是数学美丽的一方面呀!你要旅行看风景, 
也不会挑个平常无奇的地方吧。 

【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】 
: 【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】 
: : 不是早就说过了,没有什么“右则(左则)紧相连的一点”嘛。如果a的“右则紧 
: : 相连的一点”是b,你叫(a+b)/2住到哪里去? 
:  
:    ....... 


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 作 者: bsese@GZ() 2000-11-11 15:10:40
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标  题: Re: 有理数多还是无理数多?
发信站: 网易虚拟社区 (Sat Nov 11 15:10:40 2000), 站内信件

【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】 
: 为什么要遗憾呢?实数的结构还算是非常“正常”的,如果包兄看了 
: 拓朴里那各种各样的“紧集”的定义,和各种反例,就至少不会对实 
: 数有什么遗憾了:-)可这也是数学美丽的一方面呀!你要旅行看风景, 
: 也不会挑个平常无奇的地方吧。 
:    ....... 

    取任一无理数 w 将有理数集分为小于 w 的子有理数集 P, 
与大于 w 的子有理数集 Q ; 
    现在问题是: 
    是否存在另一个无理数 w2 ,能满足 P 中所有的有理数都小 
于 w2 ,并 Q 中所有的有理数都大于 w2 呢? 

    1. 设这样的无理数 w2 存在,即以 w2 为界将有理数集分 
为二个子有理数集与原以 w 为界划分结果是一样的; 

    2. 设任何两个无理数之间都或有无穷多个有理数,或有有限 
个有理数,或至少有一个有理数; 

    3. 根据 1. 与 2. 则 w 与 w2 之间存在有理数,那么这些有 
理数以 w 与以 w2 为界划分子有理数集将会分在不同的子集中, 
因此 1. 与 2. 中至少有一个是错误的; 

    4. 若设 2. 是正确的,1. 是错误的,则在子有理数集 P 与 
Q 之间交界处只有一个无理数 w ,那么任何无理数 w 的二侧邻点 
为有理数,这将得出有理数个数大于或至少等于无理数个数; 

    5. 若设 1. 是正确的,2. 是错误的,则存在无理数 w 与 w2 
二者之间不存在任何有理数。 

    到底应选 4. 还是 5. 请异调兄指教。 

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包学行( [email protected] ) 

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