发信人: iczelion(扎心不让血流)
整理人: cywx(2001-03-29 19:31:55), 站内信件
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数学竞赛题解答
1.若A1A2A3A4A5A6A7A8是一个凸八边形，已知∠A1＝∠A5、∠A2＝∠A6、∠A3＝∠A7、 ∠A4＝∠A8，试证明该凸八边形内任意一点到8条边距离之和是一个定值。
证明：
连结A5A8
∵∠A1＝∠A5、∠A2＝∠A6、∠A3＝∠A7、∠A4＝∠A8
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8＝1080°
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°
又∠A1A8A5+∠A8A5A4+∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝720°
从而∠A1A8A5+∠A8A5A4＝180°
即A1A8∥A4A5
同理可证得A1A2∥A5A6、A2A3∥A6A7、A3A4∥A7A8
设每组对边之间的距离分别是H1、H2、H3、H4
显然，该凸八边形内任一点到各边距离之和S＝H1+H2+H3+H4
2.△ABC的面积为S，作一直线L∥BC，分别交AB、AC于D、E两点，记△BED的面积为k，证明：k≤1/4S。
证明：
分别过点A作AG⊥BC，过点E作EF⊥BC
则k＝1/2DE*EF S＝1/2AG*BC
k/S＝DE*EF/(AG*BC)
＝(DE/BC)*(EF/AG)
又DE∥BC,EF∥AG
∴DE/BC＝AE/AC
EF/AG=EC/AC＝(AC-AE)/AC
∴k/S＝(AE/AC)*(AC-AE)/AC
＝-(AE/AC)^2+AE/AC-1/4+1/4
＝-(AE/AC-1/2)^2+1/4
即k/S≤1/4
∴k≤1/4S
3.设H是等腰△ABC的垂心，在底边BC保持不变的情况下，让顶点至底边BC的距离变小，这时乘积
S△ABC*S△HBC的值变小、变大还是不变？证明你的结论。
证明：
设等腰△ABC的三条高分别是AD、BE、CF
则有BD＝CD
∵Rt△BDH∽Rt△ACD
∴BD/AD＝DH/CD
即AD*DH＝BD*CD＝BD^2＝1/4BC^2
又S△ABC*S△HBC＝1/2*AD*BC*1/2*DH*BC＝1/16BC^4
∴S△ABC*S△HBC等于定值1/16BC^4,不变
以上是我呕心沥血苦干一晚的成果，大家多多指教！
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