发信人: iczelion(扎心不让血流)
整理人: cywx(2001-03-29 19:31:55), 站内信件
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数学竞赛题解答
1.若A1A2A3A4A5A6A7A8是一个凸八边形,已知∠A1=∠A5、∠A2=∠A6、∠A3=∠A7、 ∠A4=∠A8,试证明该凸八边形内任意一点到8条边距离之和是一个定值。
证明:
连结A5A8
∵∠A1=∠A5、∠A2=∠A6、∠A3=∠A7、∠A4=∠A8
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=1080°
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°
又∠A1A8A5+∠A8A5A4+∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=720°
从而∠A1A8A5+∠A8A5A4=180°
即A1A8∥A4A5
同理可证得A1A2∥A5A6、A2A3∥A6A7、A3A4∥A7A8
设每组对边之间的距离分别是H1、H2、H3、H4
显然,该凸八边形内任一点到各边距离之和S=H1+H2+H3+H4
2.△ABC的面积为S,作一直线L∥BC,分别交AB、AC于D、E两点,记△BED的面积为k,证明:k≤1/4S。
证明:
分别过点A作AG⊥BC,过点E作EF⊥BC
则k=1/2DE*EF S=1/2AG*BC
k/S=DE*EF/(AG*BC)
=(DE/BC)*(EF/AG)
又DE∥BC,EF∥AG
∴DE/BC=AE/AC
EF/AG=EC/AC=(AC-AE)/AC
∴k/S=(AE/AC)*(AC-AE)/AC
=-(AE/AC)^2+AE/AC-1/4+1/4
=-(AE/AC-1/2)^2+1/4
即k/S≤1/4
∴k≤1/4S
3.设H是等腰△ABC的垂心,在底边BC保持不变的情况下,让顶点至底边BC的距离变小,这时乘积
S△ABC*S△HBC的值变小、变大还是不变?证明你的结论。
证明:
设等腰△ABC的三条高分别是AD、BE、CF
则有BD=CD
∵Rt△BDH∽Rt△ACD
∴BD/AD=DH/CD
即AD*DH=BD*CD=BD^2=1/4BC^2
又S△ABC*S△HBC=1/2*AD*BC*1/2*DH*BC=1/16BC^4
∴S△ABC*S△HBC等于定值1/16BC^4,不变
以上是我呕心沥血苦干一晚的成果,大家多多指教!
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★ 酔过方知酒浓,爱过方知情重 ☆
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