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主题:数学竞赛题解答
发信人: iczelion(扎心不让血流)
整理人: cywx(2001-03-29 19:31:55), 站内信件
数学竞赛题解答

1.若A1A2A3A4A5A6A7A8是一个凸八边形,已知∠A1=∠A5、∠A2=∠A6、∠A3=∠A7、 ∠A4=∠A8,试证明该凸八边形内任意一点到8条边距离之和是一个定值。

证明:
    连结A5A8
    ∵∠A1=∠A5、∠A2=∠A6、∠A3=∠A7、∠A4=∠A8
        ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=1080°
  ∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°
  又∠A1A8A5+∠A8A5A4+∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=720°
  从而∠A1A8A5+∠A8A5A4=180°
  即A1A8∥A4A5
    同理可证得A1A2∥A5A6、A2A3∥A6A7、A3A4∥A7A8
    设每组对边之间的距离分别是H1、H2、H3、H4
  显然,该凸八边形内任一点到各边距离之和S=H1+H2+H3+H4

2.△ABC的面积为S,作一直线L∥BC,分别交AB、AC于D、E两点,记△BED的面积为k,证明:k≤1/4S。

证明:
    分别过点A作AG⊥BC,过点E作EF⊥BC
    则k=1/2DE*EF S=1/2AG*BC
      k/S=DE*EF/(AG*BC)
         =(DE/BC)*(EF/AG)
    又DE∥BC,EF∥AG
    ∴DE/BC=AE/AC
      EF/AG=EC/AC=(AC-AE)/AC
    ∴k/S=(AE/AC)*(AC-AE)/AC
         =-(AE/AC)^2+AE/AC-1/4+1/4
         =-(AE/AC-1/2)^2+1/4
    即k/S≤1/4
    ∴k≤1/4S

3.设H是等腰△ABC的垂心,在底边BC保持不变的情况下,让顶点至底边BC的距离变小,这时乘积
S△ABC*S△HBC的值变小、变大还是不变?证明你的结论。

证明:
    设等腰△ABC的三条高分别是AD、BE、CF
    则有BD=CD   
    ∵Rt△BDH∽Rt△ACD
    ∴BD/AD=DH/CD
    即AD*DH=BD*CD=BD^2=1/4BC^2
    又S△ABC*S△HBC=1/2*AD*BC*1/2*DH*BC=1/16BC^4
    ∴S△ABC*S△HBC等于定值1/16BC^4,不变
    
以上是我呕心沥血苦干一晚的成果,大家多多指教! 


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