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主题:绝对原著!!!
发信人: alwaysliving(後生仔+核凸仔)
整理人: cywx(2001-03-25 03:47:04), 站内信件
数学竞赛题(二)
作 者: iczelion() 2001-03-20 12:58:14
△ABC的面积为S,作一直线L//BC,分别交AB、AC于D、E两点,记△BED的面积为k,证明:k≤1/4S。 


作 者: cywx(冇咁笨) 2001-03-23 03:01:51

答案如下: 
过点a作ag⊥bc,交de于f,交bc于g 
∵de∥bc 
∴△ade∽△abc   ……(∽是不是相似的符号?忘记了,就当它是吧) 
于是af/ag=de/bc,则de=af.bc/ag 
由于fg是△bed的高,所以k=de.fg/2  = af.bc.fg/2ag 
s=bc.ag/2 

可得k/s=(af.bc.fg/2ag)/(bc.ag/2)=2af.bc.fg.ag/2ag.bc.ag 
即k/s=af.fg/ag.ag     ……(ag.ag即ag的平方,这里不方便表示) 
     =af.fg/(af.af+fg.fg+2af.fg) 
∵因为af.af+fg.fg≥2af.fg     (从公式a平方+b平方≥2ab可知) 
∴af.af+fg.fg+2af.fg≥4af.fg,即k/s≤1/4 
∴k≤1/4S,原命题得证 


作 者: alwaysliving(後生仔+核凸仔) 2001-03-23 03:15:55

作辅助线EF//AB,交BC于F, 
设S△ADE为S1,S△EFC为S2,DE=X,则CF=BC-X 
∵DE//BC,BD//EF 
∴S△BDE=S△BEF,△ADE∽△EFC 
∴S1/S2=[X/(BC-X)]的平方 

∵△EFB、△EFC同高 
∴S△EFB/S△EFC=K/S2=X/(BC-X) 

∵S1+S2=[X/(BC-X)]的平方+S2 
  K=S△EFB=(X*S2)/(BC-X) 
又∵A*A+B*B≥2AB 
∴S1+S2≥2K 

∵S=S1+S2+2K 
∴S≥4K 
∴K≤(1/4)S


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冇用咖:讲出嚟都冇人知.
预咗啦:都冇人会睇啊!
搵食啫:睇下啦!唔睇?打祸甘嘅俾你啊!
犯法啊:打你就打你!

        ——(原)後生仔@粤黎越正.核凸              

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