发信人: alwaysliving(後生仔＋核凸仔)
整理人: cywx(2001-03-25 03:47:04), 站内信件
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数学竞赛题（二）
作 者: iczelion() 2001-03-20 12:58:14
△ABC的面积为S，作一直线L//BC，分别交AB、AC于D、E两点，记△BED的面积为k，证明：k≤1/4S。
作 者: cywx(冇咁笨) 2001-03-23 03:01:51
答案如下：
过点a作ag⊥bc，交de于f，交bc于g
∵de∥bc
∴△ade∽△abc ……（∽是不是相似的符号？忘记了，就当它是吧）
于是af/ag=de/bc，则de=af.bc/ag
由于fg是△bed的高，所以k=de.fg/2 = af.bc.fg/2ag
s=bc.ag/2
可得k/s=（af.bc.fg/2ag）/（bc.ag/2）=2af.bc.fg.ag/2ag.bc.ag
即k/s=af.fg/ag.ag ……（ag.ag即ag的平方，这里不方便表示）
=af.fg/（af.af+fg.fg+2af.fg）
∵因为af.af+fg.fg≥2af.fg （从公式a平方+b平方≥2ab可知）
∴af.af+fg.fg+2af.fg≥4af.fg，即k/s≤1/4
∴k≤1/4S，原命题得证
作 者: alwaysliving(後生仔＋核凸仔) 2001-03-23 03:15:55
作辅助线EF//AB，交BC于F，
设S△ADE为S1，S△EFC为S2,DE=X，则CF=BC-X
∵DE//BC，BD//EF
∴S△BDE=S△BEF，△ADE∽△EFC
∴S1/S2=[X/(BC-X)]的平方
∵△EFB、△EFC同高
∴S△EFB/S△EFC=K/S2=X/(BC-X)
∵S1+S2=[X/(BC-X)]的平方+S2
K=S△EFB=(X*S2)/(BC-X)
又∵A*A+B*B≥2AB
∴S1+S2≥2K
∵S=S1+S2+2K
∴S≥4K
∴K≤(1/4)S
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冇用咖：讲出嚟都冇人知.
预咗啦：都冇人会睇啊！
搵食啫：睇下啦！唔睇？打祸甘嘅俾你啊！
犯法啊：打你就打你！
——（原）後生仔@粤黎越正.核凸 |
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>>绝对原著！！！