发信人: pojie-gdbh()
整理人: k_xiaoyao(2001-03-08 17:38:28), 站内信件
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我想，一些朋友看了本文之题目，便肯定不会苟同此论。这里首先作一个说明：哥德巴赫猜想是200多年未被证明的世界著名数论难题，证明它当然应该是很了不起的事件，即使仅从这一角度来评价它，它也是很有意义的。这一点笔者与各位看法绝对一样。并解笔者也不否认，即使仅仅证明原命题也可能会在理论上有所突破，这又是可能会有另一层的学术上的意义。但本论是针对原猜想并且是从另一个角度提出问题的并得出此论的。
在正式论述（推理）之前，我们不妨先举一个另外的例子：
假如有人出了这样一个猜想：除了金星以外，所有的天体和太阳的距离均不小于1个天文单位（地球到太阳的平均距离）。即使有人证明了这个猜想又怎么样呢？紧接着我们就会提出第二个猜想：除了金星、地球、月球、火星、土星（或许还有木星水星吧）之外，所有的天体和太阳的距离都不小于2个天文单位；假如有人又证明了这第二个猜想又怎么样呢？紧接着我们又会提出第三个猜想：除了金星、地球、。。。。。。天王星、海王星、冥王星之外，所有的天体和太阳的距离都不小于3个天文单位；假如有人又证明了这第三个猜想又怎么样呢？紧接着我们又会提出第四个猜想，。。。。。。由于宇宙是无限的，所以这样的猜想我们可以提出无穷多个。这里，第二个猜想无疑要强于第一个猜想，第三个猜想无疑要强于第二个猜想，第四个猜想无疑要强于第三个猜想。。。。。。对于十分遥远的每一个天体来说，这个问题假如仅仅给出了它和太阳的距离不小于多少显然是远远不够的，最强的结果就是能够给出每一个天体和太阳甚至每一个天体之间的距离，要想达到这样的目的，就必须研究万有引力、开普勒定律、相对论等，弄清天体运行的规律，才能最后彻底揭开宇宙之谜。
原命题十分幼弱，证明它无大意义
Goldbach 猜想(A)原命题仅要求证明: 任意一个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和. 亦即:
设x>4为任意之偶数, 命D(x)表示x可表为两个素数之和表法的个数, 原命题就是要求证明
D(x)>1, x>4. (1)
成立. 即原命题是一个要求证明有没有的定性问题.
一般以为, Goldbach 猜想是一个强命题, 原因不过仅是直接证明它非常的困难, 于是退而求其次: 从更弱之命题{a, b}开始了探索, 从1920年Brun第一次利用改进的Eratosthenes筛法证明了命题{9, 9}开始[1], 一直到1973年陈景润应用加权筛法证明了目前被学术界承认的最好结果{1, 2}: 任一大偶数都可以表示为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和,并有式
(原式无法规范编辑，请参阅有关文献) （2）
式中之Px(1,2)表示偶数x可表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和的表法的个数[2].
那么,Goldbach 猜想(A)究竟是一个强命题还是一个弱命题呢? 我们不妨换一个角度来对之作一分析.
原猜想无疑可以表述为:
任意一个大于4的偶数都可以表示为至少1个(组)两素数之和.
首先,我们可以提出一个比之再弱一点的猜想：
任意一个大于0的偶数都可以表示为至少0个两素数之和.
当然,这是一个不用证明的问题, 也可以说根本就不是一个猜想. 但换言之, 它之所以不用证明恰恰是因为这个命题比原猜想更弱. 不过这里仅是沿着原猜想之思路逆向推理的, 假如事情就到此为止, 这样的推理并没有多大的意义. 但接着我们就可以沿着这个思路继续作如下顺向推理：
∵ 6=3+3有1个这样的和; 8=3+5=5+3有2个这样的和; 10=3+7+7+3=5+5有3个这样的和.
我们的第二个猜想就是:
任意一个大于6的偶数都可以表示为至少2个两素数之和.
这个猜想无疑要强于原猜想.
或以为仅举如此简单3个偶数为例便提出一更强之猜想显得草率, 我们不妨接着推理:
∵ 12=5+7=7+5,可表示为 D(12)=2;
14=3+11=11+3=7+7,可表示为 D(14)=3;
16=3+13=13+3=5+11=11+5,可表示为 D(16)=4;
18=5+13=13+5=7+11=11+7,可表示为 D(18)=6;
20=3+17=17+3=7+13=13+7,可表示为 D(20)=4;
22=3+19=19+3=5+17=17+5=11+11,可表示为 D(22)=5;
...... ;
36=5+31=31+6=7+29=29+7=13+23=23+13=17+19=19+17,可表示为D(36)=8.
我们的第三个猜想就是:
任意一个大于12的偶数都可以表示为至少3个两素数之和
这个猜想又强于第二个猜想, 接下来:
∵ 38=7+31=31+7=19+19,即 D(38)=3;
40=3+37= ... =23+17; 即 D(40)=6;
...... ;
66=5+61= ... =37+29, 即 D(66)=12.
我们的第四个猜想就是:
任意一个大于38的偶数都可以表示为至少4个两素数之和.
这个猜想又强于第三个猜想, 继续下去:
∵ D(68)=4;
...... ;
D(126)=20.
第五个猜想:
任意一个大于68的偶数都可以表示为至少5个两素数之和.
这个猜想又强于第四个猜想.
再继续下去有:
任意一个大于128的偶数都可以表示为至少6个两素数之和.
任意一个大于188的偶数都可以表示为至少10个两素数之和.
任意一个大于248的偶数都可以表示为至少12个两素数之和.
......
任意一个大于37172的偶数都可以表示为至少510个两素数之和.
任意一个大于37,247的偶数都可以表示为至少511个两素数之和.
任意一个大于37,762的偶数都可以表示为至少516个两素数之和.
......
任意一个大于956,668的偶数都可以表示为至少7,600个两素数之和.
任意一个大于961,934的偶数都可以表示为至少7,607个两素数之和.
任意一个大于965,366的偶数都可以表示为至少7,651个两素数之和.
......
任意一个大于1,000,000,000的偶数都可以表示为至少3,000,000个两素数之和.
......
任意一个大于100,000,000,000,000的偶数都可以表示为至少110,000,000,000个两素数之和.
等等猜想.
这样下去,我们即可得出无穷多个越来越强的猜想.可综述为:
设R>0为任意之自然数, 当偶数x充分大时,,任何一个大于x的偶数都可以表示为两个素数之和,且这样的和的个数恒大于R.即有式
D(x)≥R, x>x0. （3）
成立.
这样的猜想无疑是合理的.
Euler 说: "这个猜想(即原猜想)我虽然不能证明, 但我认为它是一个不可怀疑的定理." 我们知道, 不仅是Euler ,可以说虽然原命题至今未被最后证明, 但几乎所有的数学家都是相信原猜想是正确的[1].那么对于本文提出的这个比之强的多的猜想在未证明之前, 不知道是否会有人相信它同样是正确的.
(3)式虽尚未证明,但从直观上可以初步判定上述猜想为真,若果如此,则原猜想就失去了意义.这是因为:假如原猜想(1)式已被证明,（则我们紧接着就会提出第二个猜想;假如第二个猜想又被证明,我们又会提出第三个猜想;之后还有第四个猜想,第五个猜想,......如此下去,命题将永远不可能最后破解.
问题还不仅仅如此:
我们知道,因为实际上偶数x表示为两个素数之和表法的个数,即所谓的哥德巴赫猜想解数并不是随着x的增大成直线上升的,为了更清楚说明问题,不妨举几个简单偶数为例,我们有 120=7+113=11+109=13+107=17+103=19+101=23+97=31+89=37+83=41+79=47+73=53+67=59+61
122=13+109=19+103=43+79=61+61
124=11+113=17+107=23+101=41+83=53+71
126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67
128=19+109=31+97=61+67
130=3+127=17+113=23+107=29+101=41+89=47+83=59+71
由于规定两个不相同的素数相加算作2个和,我们不妨将函数D(x)表为:在集合{x-p:x>p}中素数p的个数,所以上述几例可表示为
D(120)=24, D(122)=7, D(124)=10, D(126)=20, D(128)=6, D(130)=14.
"偶数x的这种表示法的数目似乎随着x的增大而在不规则的增大"[3].这几个偶数大小相近,但它们的D(x)之值相差悬殊.并且随着偶数x增大,这样的悬殊还会越来越大.
我们知道, 数论函数如π(x)是一个非递减函数,表孪生素数个数之函数Z(x)也是一个非递减函数,那么,为什么独D(x)会如此不规则呢? "我们应当观察收集到的结果,应当对它们加以比较和综合,同时应当寻求可能隐藏在它们背后的某些线索."[ 3].这些问题都是要在证明过程中所必须弄清的问题.这也就是说,即使我们证明了(2)式成立,仍不能算是最终破解了此命题.
所以, 此命题的最终最好结果应该是弄清此特定素数的个数随偶数或自然数增大之变化规律, 给出D(x)一个表达式, 即此命题的最强结果应该是一个精确的定量问题.
我们知道,早在二十世纪二三十年代,英国数学家Hardy, Littdewood 即已给出过一个猜测性的结果[1]:
（原(4)(5)式为wps2000编辑，十分规范，惜无法粘贴，不过在此文中，知道有此公式即可。请参考原文献）
这个结果虽然至今未被证明,但学界一般都是相信它的.假如(4)果真是正确的,应该说它已是原命题的一个很漂亮的结果,那么它是否就可能是此命题的最好结果呢?下面对之作一分析:
首先, (4)式显然是以素数定理
π(x)～lnx (6)
为基础得出的.
我们知道,素数定理虽然反映了素数个数的变化规律,但它毕竟是一个渐进式, 当x增大时, (6)式左右两边的绝对误差较大,所以(4)式左右两边的误差将会更大,这一点我们随便举个例子即可验证.
再者,从直观上看来,(4)式还不能很明显的表示出D(x)随x的变化规律,也就是说,此结果还算不得初等..
那么, 什么样的结果才能算是最好结果呢?窃以为最好的结果须具备三个要素:一时精确性, 二是简洁性,三是自然性.显然,(4)式并不具此三性.另外,最好的结果必须是客观存在的,.这是因为, 证明此命题本身实际上就是寻找客观存在的规律,这个规律也和所有的自然规律一样,是只能发现而不能创造的,.
当然,这个规律的最好的结果应该是用等号表示的 即
D(x)=f (x). (7)
函数表达式. 问题是,如此复杂之函数,客观上是否存在这样精确的表达式.退而言之,即使存在这样的结果,f (x)是否会过于繁琐.那么,是否存在一个更简洁更自然之表达式呢?即这样的表达式虽不是用"="精确表示.但它同样能清晰反映出D(x)的变化规律.即是否会证明有
D(x)≈ f ' (x) (8)
或
D(x)=f ' (x)±Δx. (9)
存在. 且f ' (x) 非常自然简洁呢?答案应该是肯定的.
综上所述,原Goldbach命题(A)是一个极弱的定性命题,因为我们还可以提出无穷多个比之更强的命题, 所以假如仅仅证明原命题并没有多大的意义.此命题的最强结果应该是一个定量问题.即必须给出数论函数D(x)一个具有精确性,简洁性,自然性的表达式.
参考文献
[1]潘承洞潘承彪《哥德巴赫猜想》
[2] 陈景润 《大偶数表一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和》
[3] G 波利亚《数学与猜想》
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