发信人: jeter(云胡不归)
整理人: k_xiaoyao(2001-03-06 18:44:10), 站内信件
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芝诺悖论之云胡版
前言：
将近一年以前有位网友在版上问起芝诺悖论中最著名的“阿基里斯追
不上乌龟”，我答应有空解释一下的，不过一直没空:P。前一阵在北京区
又有对这个悖论的讨论，看过众高手所言，一时兴起编了这么个小故事，
聊博一笑——我自己的。:)
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暮春三月，江南草长，杂花生树，群莺乱飞。
这里是靴子半岛的小镇爱利亚，南边不远就是地中海了。一家“珍记
拾掇店”的黑布金字招牌在和风中招摇，一行人停下了脚步。
“老板，请问您知道怎么找到芝诺老师吗？”一个扎两只羊角辫的小
姑娘甜甜地问。
“你说芝老头啊，喏，前面第二个十字路口往左转，走不远门口有棵
老槐树的大院儿就是啦。这老头最近开了个什么“背运讲习班”，奇怪来
找他的人还真不少。”胖老板连连摇头。
“是悖论，不是背运，”一个招风耳朵大脑袋、鼻架八百度眼镜、身
着蓝长衫的来者纠正说，“所谓悖论呢，就是看起来自相矛盾的话，你说
它真，它却像假的，可你说它假吧，它又像真的。我说我这句话是假话，
你说我这句话是真话还是假话？”
“对对，先生您说得对，”胖老板连连点头，“护林官庄周先生也说
了，芝老头那叫诡辩，咳，辩者之徒，能胜人之口，不能服人之心……”
“不，你没理解——”
“哎，先生，一看您就不一般，”胖老板向前凑凑截住话头，“各位
远道而来旅途劳顿，敝店专营脑白金含片、核酸营养口服液，有消困解乏
祛病健体益智延年之神效，是俺们这疙瘩街道居委会德育副教授最新鼓捣
发明的，三十八位炸药奖得主倾情推荐，绝对价钱公道童叟无欺……”
“怎么没有卫生部批准文号啊？”鼻子有点鹰钩的柯南掏出放大镜，
端详了一阵狐疑地问。
“这个么先生你有所不知，本地的有关主管部门昂臧部，前两天刚刚
召开了专家听证会，认定服用核酸营养口服液可以百毒不侵刀枪不入长生
不老，堪与天地兮比寿，与日月兮齐光……”
“呸呸呸——”虎头虎脑的逍遥尝了一小点，接连吐了三口，“什么
玩艺儿真难吃还不如棒棒糖呢你说是吧甘棠？”
“嗯，我看这家也靠不住，我们还是去隔壁那家买棒棒糖吧，”羊角
辫小姑娘压低声音说。
“Ｇｏ！”一贯说话简洁明了的时清抬腿就走，异调（就是上面的大
脑袋八百度眼镜蓝长衫）赶紧一把拉住这个路盲，“那边是天竺。”
大院里已经杂乱地围坐了好几十号人，一个秃顶留山羊胡子的老头坐
在中间一块大石头上。
“到我这来要过两个十字路口，这个中间就要先到第一个路口，中间
又要走第一条街的一半路，一半路的一半路，一半路的一半路的一半路，
一半路的一半路的一半路的一半路……你们大概也都听说过我师弟公孙龙
的一句名言：‘一尺之棰，日取其半，万世不竭。’连一尺长的棍子每天
掰一半都永远分不完，何况这么长的路，大家这些有限的人在有限的时间
里，又怎么能够走过无穷多的路途中点呢？”
底下七嘴八舌一片吵嚷。“是呀，那我们是怎么走过来的呢？”“真
费解，一根棍子都分不完，一段路却明明可以走完。”“这里面准有鬼，
我早就听说这老头喜欢诡辩了。”“为什么有限的时间就不能走过无限的
中点啊？”“同志们，唯物辩证法早已经指出，运动是物质存在的方式，
无限本身就是一个矛盾，无限是由有限组成的……”“唔，ｔｏ ｂｅ
ｏｒ ｎｏｔ ｔｏ ｂｅ，这是个问题！”“善哉善哉，色不异空，空
不异色，色即是空，空即是色。”“拜托老大你切题一点好不好，怕了你
的说。”“全都是废话，你瞧这不是又有几个人进来啦——”
甘棠、异调、时清、逍遥、柯南几个被众人的目光扫得有点不自在，
赶紧也找地儿坐了下来。
喧嚣声渐渐平静了，众人指望芝诺老师来解释一下这里的疑问，可芝
老头自顾自抽着麦秸烟斗，见大家都不再说话，才悠悠然问：“你们知道
阿基里斯吧？”
“是希腊的飞毛腿阿基里斯吗？特洛伊战争里的大英雄，人们都叫他
‘风之子’呢，不过最近听说在参加奥运会百米赛跑的时候被怀疑服用了
兴奋剂，也不知是真是假。”鹰钩鼻小帅哥柯南抢着说。
“不错，正是这个飞毛腿，不过我要说他跑得再快，也追不上前面的
一只乌龟。”
大家猜不透芝诺老师的葫芦里在买什么药，眼巴巴盯着他，芝老头又
微笑道：“阿基里斯的前面有一只乌龟也在慢慢向前爬，我们的飞毛腿要
追上它，就得先跑到它此刻的位置，对吧？”
众人点头称是。
“等跑到了乌龟刚才的位置，乌龟也往前爬了一段；风之子为了追上
它，还得继续跑，等跑到了新的位置，乌龟又爬到前面去了；等再跑到了
这个位置，同样的问题又摆在面前，而且还会无穷无尽地重复出现，飞毛
腿和乌龟之间的距离越来越小，可是不管怎么小，终归是有距离。所以嘛
——”
芝老头伸手捡起一根树枝，在地上画了几幅示意图：
——｜————————｜————————————＞
Ａ Ｂ
———————————｜————｜———————＞
Ａ Ｂ
————————————————｜——｜————＞
Ａ Ｂ
———————————————————｜—｜——＞
Ａ Ｂ
…………
底下先是片刻默然，继而一片哗然，坐在甘棠旁边的逍遥跳起来亮开
嗓门嚷道：“我反对！阿基里斯和乌龟都有实际尺寸不是理想的两个点，
阿基里斯一只脚就有乌龟那么长等他追到乌龟身后一抬脚就超过去了！”
“那就取阿基里斯的脚尖和乌龟的鼻尖这两个点好了，你来分析一下
刚才我说的追赶过程还有什么不妥吗？”
逍遥张大嘴一时合不拢，挠挠头坐下了。
“芝诺老师，可是我们小学应用题里的追及问题就有解阿基里斯多长
时间追上乌龟的呀。”甘棠怯生生举手说。
“对对！”柯南忙不迭补充，“阿基里斯每秒跑十米，乌龟每秒爬一
厘米，开始乌龟在前面一百米，飞毛腿英雄只要……”鹰钩鼻小帅哥掰了
掰指头，“只要１０．０１秒就追上啦！”
“错，”平时上课最爱睡觉的时清这回居然没打盹，“是１０．０１
００１（循环）秒。一般地，设甲速度为ａ，乙速度为ｂ，距离为ｓ，则
可列方程解得追及时间为ｔ＝ｓ／（ａ－ｂ）。”末了时清又补充一声：
“括号内笑。”
逍遥闷头想了一会儿，忽然一拍大腿，把坐在旁边的甘棠吓了一跳：
“我知道啦！按芝诺老师的说法我们从城门走到这里要经过无数个中点而
实际上只花了吃一根棒棒糖的时间，说明在有限的时间里就可以走过无数
的点也说明走过无数的点不一定要花无限的时间。阿基里斯追上乌龟需要
经过乌龟先前经过的无数个点，可是经过这无数个点只需要有限的时间。
哈哈哈哈！”
甘棠拍手说：“对呀对呀！我们小学哲学课上也讲过物质无限可分，
运动是物质存在的方式，可以在有限的时间里经过无限的点。还讲无限是
由有限组成的，无限本身就是矛盾，而矛盾无所不在，如果矛盾消失了，
世界也就不是世界了……不过后面这个又是什么意思呢？”
“不好理解，”鹰钩鼻小帅哥说，“我们从逻辑上整理一下看看，把
芝诺老师的推理写成三段论——
大前提：经过无限个点要花无限的时间；
小前提：阿基里斯追上乌龟要经过无限个点；
结论：阿基里斯追上乌龟要花无限的时间。
这个大前提似乎有问题耶，一段有限的距离虽然包含了无限个点，可
实际上经过这段有限的距离只要用有限的时间。怎么样，唐僧，给点意见
先。”柯南捅了捅时清。
时清瓮声瓮气地说：“数学上显而易见，一个无穷数列包含无穷项，
将各项求和称为无穷级数，它可以是有限值，此为收敛，否则发散。举例
如下——
数列：１／２，１／４，１／８，……，１／（２＾Ｎ），……
无穷项级数和：１（收敛）
数列：１／２，１／３，１／４，……，１／Ｎ，……
无穷项级数和：∞（无穷大，发散）”
若设阿基里斯速度为ａ，乌龟速度为ｂ，初始距离为ｓ，则每次飞毛
腿到达乌龟上次所在位置需用的时间为——
ｔ１＝ｓ／ａ
ｔ２＝（ｓ／ａ）×（ｂ／ａ）
ｔ３＝（ｓ／ａ）×（ｂ／ａ）＾２
……
ｔｎ＝（ｓ／ａ）×（ｂ／ａ）＾（ｎ－１）
……
此为等比数列，公比为ｑ＝ｂ／ａ＜１，数学上可知其无穷项级数和
收敛为有限值，即追及时间为ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋……＋ｔｎ＋……
＝ｔ１／（１－ｑ）＝ｓ／（ａ－ｂ），与我刚才所说结果一致。括号内
笑。”
“哗，帅呆了，简直比小帅哥还呆！”众人热烈鼓掌。
异调坐在那里已经吃完了两打棒棒糖（他一次含三根），正拿着二十
四根棒棒比划能摆多少个方格子，这时站起来说：“大家少安毋躁，我来
再说几句。”见没什么人听他的，只好加意强调：“哲学、逻辑、数学的
解释都有了，不过物理的解释更有趣，你们不想听听吗？”
……
“好，说来话长，咳，我们学物理的最讨厌无限了，自然界里哪来的
如此多无限？什么物质无限可分，‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’，
说的比唱的还好听，谁来真分分看，一尺长的棍子，今天分一半成半尺，
明天再分一半成四分之一尺，后天八分之一尺，大后天十六分之一尺……
这么着第三十二天就分到原子头上了，原子想对半分可不那么容易，因为
它内部基本空空如也。就算可以继续对半分吧，再过两星期又分到原子核
头上了，接着把质子中子分成夸克？这在理论上能不能行也还成问题，有
可能夸克永远被关禁闭呢。至于电子现在看起来更像是点粒子一个，要想
分它兴许得造出太阳系那么大的对撞机。哪怕你有天大神通，碰到什么都
一刀劈成两半，四个月也就劈到了普朗克长度１０＾（－３５）ｍ，这时
连时空结构都未必连续，天晓得会是个什么情景呢。
不过话又说回来，电子真要当成一个数学点粒子也有麻烦，按照量子
电动力学ＱＥＤ——这是洋文，你们不懂的——计算好多东西的结果都是
无穷大，所谓发散困难，究其根源就在于把电子当成了数学点粒子。所以
呢物理顽童费曼他们就发明了一套叫“重正化”的数学戏法，把级数后面
发散的项全吸收到几个物理常数里去，哗——整个世界清净啦。现在大家
明白，为什么我要除掉无限！”
众人听得面呈痴呆状，异调洋洋得意接着说：
“向下看完向上看，话说有一种星星叫黑洞，它也发光，可是看上去
那儿黑咕隆咚什么东东也没有，因为它的质量太大了，引力太强了，光都
被拉住逃不出它的视界。后来有个叫爱因斯坦的小伙子发现，原来引力场
就是时空弯曲的表现，黑洞的引力场非常强，时空弯曲也厉害，到了黑洞
中心就成了曲率无穷大的奇点，连物理定律也要失效了，真是一个讨厌之
极的无穷大。
爱因斯坦还发现，引力场越强，时钟走得越慢。小帅哥柯南驾驶宇宙
飞船去考察黑洞，我们躲在远处瞧热闹，起先我们看他的表还算正常，等
他越来越接近黑洞视界，我们看他的表也越来越慢越来越慢，到后来就像
停了似的，反正我们只能看到他无限接近黑洞，永远也看不到他穿过视界
进入黑洞。不过小帅哥自己看表自始至终一切正常，接近黑洞、穿过视界
都是在有限的时间里，他的表一直不快不慢走得好好的。最后呢，鹰钩鼻
小帅哥抵达了时空奇点‘啾’的一声就回到了五百年前花果山水帘洞……
就这样。
大家看到啦，这里有两种不同的时钟，我们看到的和柯南看到的是不
一样的，对于我们是无限的过程无限的时间，对于小帅哥只是有限的过程
有限的时间。那时间究竟是什么呢？爱因斯坦说：‘所有的过去、现在和
未来，都只是一种错觉。’嘿嘿，这个且不去管他，关键我们计时总要有
计时的标准，太阳东升西落再复旦为一天，月亮由圆而缺再复圆为一月，
埃及人总结出天狼星偕日同升、尼罗河水开始泛滥的循环为一年；沙漏、
钟摆、晶振、原子发出的电磁波，所有这些计时的‘钟’都是具有周期的
现象，我们可以用来衡量时间。
芝诺老师提出的阿基里斯追乌龟问题，其中也有某种‘周期’现象，
就是飞毛腿不断地到达乌龟上次所在的位置，如果以此为时钟，唔——”
异调瞥见芝老头正对他颔首微笑，乖觉地说，“我们称为‘芝诺钟’吧，
它和正常的时钟是不一样的，阿基里斯从乌龟的上一个所在点到下一个，
正常钟量出来的就是刚才时清说的那个递减的等比数列，无穷项级数和为
有限值，这也就是飞毛腿追上乌龟实际花的总时间；而在‘芝诺钟’下是
一个单位数列１，１，１，……，１，……，无穷项求和是无穷大，所以
可怜的飞毛腿‘永远’也追不上乌龟啦。
由此也可见，‘芝诺钟’能测度的时间只是飞毛腿还没追上乌龟的这
一段有限的时间，就像我们的钟能测度的时间只是柯南在黑洞引力场里还
没进入黑洞视界的那一段有限的时间；‘芝诺钟’对它的无穷大之外已经
失效，我们的钟还在继续走，而我们的钟到了无穷大，黑洞引力场里的钟
还在继续走。”
四下一片低声议论，连芝老头也不住摸秃顶捋胡子，逍遥欢喜叹道：
“异调说法，生公点头。”
异调继续口水横飞：“方励之有本小册子《哲学是物理学的工具》，
里面就仔细讨论了这个问题，当年我在学校新图书馆阅览室里读到，那里
地上铺着地毯，大桌子分成间隔，上面装台灯，半沙发椅，啧啧，过两个
月九十年校庆，我要争取回去看看……”
甘棠愤怒地用手对异调一指，大声地说：“不许闲扯！”
“呃，你再给我三根棒棒糖，我保证闭嘴的说。”
众人中一个瘦高个嘟哝起来：“……生命不能承受之轻……欲望的金
苹果……唉，人类一思考，上帝就发笑……”
芝老头胡卢而乐，异调含着棒棒糖赶紧凑趣：“老师缘何而乐欤？”
“我么，人类一思考上帝，就发笑，嘿嘿。”
（完）
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后记：
故事就先讲到这里，芝诺老头提出的悖论一共有四个，除了上面说的
“二分法”、“阿基里斯追乌龟”，还有“飞矢不动”、“运动场”两个
悖论，不过我现在没劲头开河啦，什么时候有兴致再说吧。休息，休息。 |
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