发信人: k_xiaoyao(逍遥)
整理人: k_xiaoyao(2001-03-24 23:48:29), 站内信件
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当今数学界主流认为，数学是研究模式和结构的。模式的一个简单例子就是一
元二次方程 ax^2+bx+c=0，它的解可以借一个带平方根的式子表示出来。这个方程
可以从许许多多完全不同的现实例子中抽象而来，但是其内在的数学性质却是一致
的。在这个模式中，我们注意到a，b，c是“任意”的数，这个简单的事实却隐藏
着一个深刻的思想：我们是把一个涉及无限的命题“解所有一元二次方程”用给定
的条件（a，b，c）和结论（方程的解）之间的关系代替了无穷个具体的数值。现
实问题无穷无尽，甚至每一个具体的问题比如说扔块石头，看看它落到什么地方也
都具有无限精细的内部结构。可是对于人类来说，我们的认识是有限的，我们处理
这些信息的能力就更加有限：我们只能够通过有限步逻辑推理（这是人类唯一能够
做到的思维）去解决问题。我们是在无限中认识有限，又通过模式去把握无限。在
这里重要的不是某个具体的结论，而是从模式中体现出来的可以处理“任意”问题
的方法。这个今天看起来理所当然的方法却经历了漫长的历史才被人类认识到
----从古巴比伦和古埃及发掘出来的资料显示[2]，最早的数学只有数与数之间的
对应，没有一般化的“公式”。按照约简的美学观点，这也是第一个数学的美学判
定法则，今天抽象的二次方程求根公式就比古代一堆（启发性的）具体答案要美。
再进一步抽象，人们就不仅仅满足于解二次方程，而是要解n次方程，相应的模式
就变成了带有n个常数的多项式方程。是不是有一种公式，能够把这些方程的解方
便地表达出来？如果没有，那么我们知道多少？对于不同的方程，我们可以通过方
程的次数n来进行分类，这个次数就是类型的一种指标，不同的类型可以有不同的
处理方法----这种分类的思想，也是现代数学的一个重要特征，以至于布尔巴基学
派[3]甚至认为数学就是一个（脱离主体存在的）真理和方法的仓库，数学家要做
的全部工作，就是把这些精美的货物分门别类。
n次代数方程求解实在不是个容易的问题。事实上在将近两千年或者更长的时
间里，代数学的主要任务就是对这个问题给出尽可能多的答案。继二次方程以后，
数学家们又给出了三次方程的求根公式。这个公式里面含有平方根和立方根，而我
们知道，为了让平方根“有意义”，就必须让根式里面的数大于等于零。在二次方
程的情况下如果根式“没有意义”就一定不会有实数解，而在三次方程里却可能会
出现“既约情况”，也就是说在求根公式里出现了“没有意义”的根式，但是如果
我们不管这些，带着根号负一进行计算，那么有时这些不合理的根式会互相抵消而
得到实数解。把它们带回原方程，我们可以检验它们的确是解。现在同学们都知道
，通过引入虚数，那些“没有意义”的根式就根本不成其为一个问题。可是在历史
上虚数的存在性及它的意义曾经引起一场激烈的论战。虚数被讥笑为“数的鬼魂”
，一些象笛卡尔这样的大数学也拒绝承认它。这场争论一直要到一八零零年左右几
何解释虚数成功后才慢慢平静下来。对实用主义者而言，虚数当然是一个计算的工
具，只要它有用就行了，但对于严肃的数学家来说却并非如此。高斯就曾经说过，
关键不在于应用，而在于如果歧视这些虚量，整个分析学就会失去大量的美和灵活
性。为什么认为“歧视虚数”就不美呢？我想这是由于数学中第二个关于美的法则
在起作用：对称性法则。当我们把虚数和实数认为是同样真实，只是分别属于一个
统一的复平面的横轴和竖轴时，所有的代数方程的解对于实数和虚数而言就具有了
一种对称性。而任何人为的“歧视”都将打破这种对称。
自十六世纪以来，人们就开始研究五次或者更高次的代数方程的求解问题，这
个问题后来被证明是不可能的。有一个证明（按照年代来说是第三个证明）是法国
数学家E·迦罗华[4]在一种更一般的理论框架中给出的。当时他的理论是如此之新
颖和富有创意，以至于直到他死后多年人们才克服了很大的困难弄懂。迦罗华注意
到了对于一个已知方程，它的根的全部置换构成一个现在叫做迦罗华群的集合。而
方程本身的能不能通过根式求解，则和这个集合的性质有关。用现在的语言来讲，
迦罗华群必须是一个可解群，解才可以写为根式。当方程的次数n=1,2,3,4时相应
的迦罗华群是可解群，而当n大于等于5时不是。这套理论被认为是整个数学中最优
美的篇章之一，那么它美在什么地方？第一它比起以前的证明都要简洁，第二它是
通过问题模式中的对称性来解决问题的，最后按照A·波莱尔的说法，是因为它是
以新的概念建筑起来的新结构下提出的原理，显示出巨大的独创性。这里我们得到
一个新的美学概念：独创性。独创性和天才，灵气是分不开的。大家在听肖邦的音
乐，看凡高的画时无疑可以感觉到和一般的音乐，一般的绘画很不一样。这种“不
一样”所附加的美感，我想就是来自独创性。独创性来源于想象力和直觉，而这两
点可以说是所有科学的共同追求目标。毕竟，如果仅仅是记熟了公式，方法，能够
熟练地从事某种工作那只能被称为巧匠而不是大师。
就象我在最开头所说的，数学不是讨论具体问题，而是去研究相应的模式。模
式有大有小，2x^2+1x-1=0 的解是X=1/2或者说-1，这个“具体的”结论本身其实
也是一个模式。这不仅仅是因为x可以指代许多具体的事物，还因为任何数，包括
2，1，-1，就已经不是两块橡皮，一根笔，欠一块钱这些具体的东西了。那么这个
“数”本身是什么？以下的一段推理是逻辑主义对数的解释：
一切均不存在的状态叫做空集Φ。Φ的所有子集构成一个新的集合，叫做Φ的
幂集P{Φ}。而P{Φ}的幂集又是另外一个集合，记为P^2{Φ}。通过一些简单的运
算，我们可以发现P^n{Φ}的基数是2^n，而通过这些集合的并我们可以得到这些基
数到正整数的一个满射。在所有集合（及其映射）构成的范畴里，用基数或者说映
射的一一对应关系做一个等价类，把这些等价类就叫做自然数，那么我们就从无到
有，运用最简单的集合论或者说是逻辑（集合论可以和数理逻辑有严格的一一对应
，一个例子就是交集就相当于逻辑中的“或”）就可以得到整个（包括零的）正整
数。然后就可以通过不相交集合的并来定义“加法”，这个拥有加法并且满足一些
简单性质的集合叫做半群，通过对加法半群的求逆（即减法）完备化产生出所有整
数。通过加法又可以定义乘法除法，通过对除法的完备化产生整个有理数域，而对
有理数进行戴德金分割或者对有理数收敛数列进行分类我们又得到了整个实数。有
了加法（减法）和乘法我们可以定义多项式，然后为了对求根运算封闭，我们还得
把数域扩张到全体复数。其中最典型的一个元素 i 的定义就是一个满足 i^2=-1的
“东西”。
这一段看似非常不自然而又冗长的推理告诉我们的是一个这样的事实，即对于
一个数学家来说，重要的不是他的研究对象的具体化，而是它们的性质，就连最基
本的研究对象：数本身，也只是某种性质的形象化说法而已。这种思维就是抽象思
维，通过不断深刻地从小模式中抽象出必要的性质，去除（或者综合）次要的性质
，用尽可能少的条件来推出尽可能多的结论。爱因斯坦曾经说过一句话，大意是科
学的发展就是不断地战胜二十岁以前人所有的“常识”。用在数学上，也十分贴切
。因为抽象常常就意味着对某种公认的常识的挑战。在每一次的抽象过程中哪怕对
于当时最优秀的数学家来说都是一种冒险的尝试，连象高斯这样的大家，在生前都
不愿意发表他关于非欧几何的开创性的文章。一旦某个抽象过程被确认下来，数学
也就随之更加完美。因而在这里，作为纯粹思维范畴的抽象性也是一种美学标准，
而这个标准，从某种程度上讲是所有在数学中起作用的美学法则中最重要的一个，
作为艺术的数学，也正是一种抽象的艺术。对了谈到抽象，我又想起了现代的抽象
画和实验性的文学创作。拿数学和它们对比十分有意思，画家进行色彩和形态的组
合，文学家把一个个的字写在一块，而我们则把一定的类型通过逻辑串起来。绘画
和文学最初是对客观现实的模拟，古典数学也是；然而通过长期的模拟过程，人们
发现了一种超越实在的“语言”，通过这种语言可以直接达到美。毕竟，艺术家们
创造的全部艺术都必须通过人的审美来体现，从这个意义上讲他们创造的真正内容
不是油画，诗歌，而是人的沉思，感动和激情。只有这样看，我们才能够理解非常
不相似的文学和绘画，音乐竟然可以拥有相似的性质，从而是统一的艺术的不同分
支。而巴罗克，洛可可，古典主义，浪漫主义，印象派，……在几乎每一个分支里
都有代表就一点都不奇怪了。
形式是为内容服务的，而不是反过来，所以经过抽象后色彩和文字的“感性”
就远比它所附着的形式----绘画的主题和小说的情节更为重要。在数学上，这一步
走得更加极端----一旦某个性质被提出来，它的构造就完全可以被忘记。拿向量的
“长度”这个概念来说，它无疑具有实在的结构和意义。但是一旦我们意识到它满
足三到四个代数性质[5]，并且我们在很多用到“长度”的定理证明中也只要这些
性质时，它的“实在性”就完全被抛开，并推广到广泛得多的一大类空间中去，在
那里，一个“向量”往往是一个函数。王浩[6]说，数学是一种类“纯净美”（true
beauty），意思大概就是指它可以不附加任何不必要的（为现实服务的）修饰。
这一境界对于任何一门艺术都非常不容易达到，而数学在这方面令人骄傲地走在了
所有其它艺术形式的前面。
作为一门最古老的科学，数学的分支之间的距离越来越大。同样是搞数学，搞
分析的常常完全看不懂代数方向的论文；同是搞分析，搞微分方程的和搞多复变的
也没有什么共同语言；同是搞微分方程，常微分方程和偏微分方程也天差地远；甚
至同属偏微分方程，椭圆型方程用的工具和抛物型又大不一样。数学这棵大树，分
支看来是越来越往互不相干的方向在发展了。然而这一看似危险的分裂主义倾向却
从来没有真正动摇数学作为一个思想体系的统一性。哈尔莫斯[7]是这样说的：“
数学如今生气勃勃，分支如此众多，各分支又如此广博，基本上无人能全部了解。
……但这不要紧，无论演讲是关于无界算子，交换群还是可平行曲面，相距很远的
数学各部分之间的相互影响常常会出现。一个部分的概念，方法常常会对所有其他
部分有启示。这一体系作为一个整体的统一性令人惊叹。”的确，在历史上曾经有
过几何和代数完全脱节的时期，两个分支各自“过度”发展，变得无聊，极端复杂
。比方说我们大家都不会对平面几何的怪题感到陌生，而对于古典代数当时情况也
好不了多少。设想一下，在中世纪欧洲的某一个地方，一位运气不好的皇帝和他的
朝臣们在一起，听一位有学问的意大利人讲解一个三次方程的解法。可怜的人们
-----那位可爱的意大利人整整花了一个下午啊！如果没有魔法吸引住他们的注意
力，他们肯定要打哈欠的！[8]
幸运的是，笛卡尔坐标系的建立开创了几何代数化的历程。而这种联合无疑为
人们认识什么是古典几何和代数的精华提供了一个标准，使得人们可以把那些人为
过度发展的分支抛开，集中精力研究那些更加深刻的问题。有了解析几何，才有了
微积分和现代数学分析。再往后到了十九世纪末，当数学又一次陷于过分分叉和复
杂化时，新的突破又出现了：人们发现定义“连续性”“极限”只要有开集就行了
！再后来人们更以此为基础发现了一种描述空间在连续变形下不变性质的群，从而
把现代代数和空间的几何性质联系起来。另外一个方面，“垂直”，“线性”和“
距离”的概念，完全可以脱离有限维的欧氏空间，搬到类似“全体连续函数”这样
的函数集合上去，并且在很大一类空间上可以建立坐标系，从而应用类似解析几何
的方法来成批地研究函数，泛函数和算子。这两个不同的抽象方向就导致了拓扑和
泛函分析的创立，体现了代数，几何和分析这三个高度分化的学科之间内在的统一
性。而这种奇妙的统一性，既体现了数学的生命力，更反映出了造物的和谐。“和
谐”是一个美学概念我想就不用我多讲了。这个概念恐怕是最神秘的一个，我们可
以把握哪怕是最艰深的抽象，我们可以给所有的对称性分们别类，我们更能够（几
乎是本能地）知道简化的重要性，然而没有一次统一的和谐不是“偶然”出现的，
我们只能凭着信仰来感受这种和谐。这种“科学的”信仰其实和无条件的宗教信仰
并没有本质的区别，在约翰福音中耶稣说，“我就是道路，真理，生命，若不籍着
我，没有人能到父那里去”。按照我们数学的惯例，这句话也可以理解为真理和生
命就是基督的一种比较抽象的说法。G. Hardy就曾经说过，“我相信，数学实体
是在我们之外而存在的，我们的职能就是去发现它，观察它，我们证明的定理，我
们夸张地说成是我们的‘创造’的那些定理，不过是我们观察的记录而已。”[9]
对于一个数学家，他一生都在创造方法和手段，但是没有一种手段本身可以保证他
明天能够发现什么，或者发现的都是“有价值”的。他最后的力量依然是存在真理
世界和通向真理的道路的强烈信心。
我的俄国师兄曾经和我聊天，他那时正在为他的学生不会也不愿算积分题而烦
恼。不过他的抱怨是暂时的，因为他自己就认为将来这种技巧会随着计算器的发展
而变得越来越不重要。我们做四则运算肯定不如大部分中学生快，但那不要紧，我
们的任务不是算加减乘除，我们是要去发现和创新。甚至当有一天机器也拥有了发
现和创新的本领时（这一点我的师兄深信不疑），我们也不会饿死，因为我们还可
以作为艺术家而活下去。甚至于有些数学家象G. Hardy干脆就认为如果说数学有什
么存在的理由的话，那就只是作为艺术而存在[10]。当我们意识到数学中的艺术性
不仅仅是一种外带的附加的属性，而且是人类思考一个最根本的价值时，也许就会
象我一样认为，当爱因斯坦说他不相信上帝会掷色子时，他的信心与其说是某种客
观实践或者是逻辑推理，不如说是对他的上帝----自然真理之完美的深信不疑。
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说明： 本文参照A·波莱尔的演讲《数学：艺术与科学》一文写出。所有该文的引
用不另行注出。
[1] 引自M·克莱因的《数学与文化----是与非的观念》一书，原文引自伯特兰·
罗素。
[2] 参看《An Introduction to the History of mathematics》，Howard Eves著
。
[3] 布尔巴基（Bourbaki）学派：一九三零年左右一批数学家（主要是法国人）试
图写一本包罗万有的数学全集，后来对整个当代数学的发展起到了非常大的影响。
[4] 参见附录《迦罗华小传》。
[5] 非负性，对称性，三角不等式和一个等式：|V|=0 ==> V=0。
[6] 王浩（H. Wang）美国华裔数学家。
[7] P.R. 哈尔莫斯（Halmos），美国数学家。后面的引文出自其有名的文章《应
用数学是坏数学》。
[8] 引自A.N. 怀特海（Whitehead），《数学与善》。
[9] G. Hardy, 《A Mathematician's Apology》。
[10]同上。
（附录一）
迦罗华小传
E·迦罗华（Evariste Galois），法国数学家。一八一一年生于巴黎近郊的
Bourg-la-Reine。他父亲当时是那里的镇长，他母亲是知识妇女，她在家里一直教
小迦罗华到十二岁，到那时他才开始上正规的学校。但是由于不喜欢学校正规教育
的僵化体制和一成不变的教材，迦罗华在学校的成绩很快就从刚进去时的名列前矛
跌到了谷底。有一次他偶然找到了一本勒让德写的几何学专著，这个成绩一塌糊涂
的小家伙很快就全部看懂了。学校的代数课本对他来说实在太boring，他于是就去
找数学大师拉格朗日和阿贝尔求学。然而在大师们那里他也表现不好，得到的评价
是该生十分古怪，喜欢争辩，老是惹麻烦。
十六岁时他投考闻名全欧的Ecole Polytechnique，结果考官根本不能理解他
的答题，因而被拒。后来Terquem是这样评价的：“A candidate of superior
intelligence is lost with an examiner of inferior intelligence”。后他再
次报考该校，又碰到一帮这样的考官，在复试（面试）的时候，他甚至愤而拿粉笔
擦扔中一名考官。这一扔，也就扔掉了他读Polytechnique的希望。不过他虽然这
两年没有读大学，却还是找到了一个能够容忍他的数学老师，Louis Richard，自
此开始真正意义上的数学研究。他的第一篇论文也正是在这个阶段（十七岁时）发
表的。就在这个时候还发生了一件影响他人生观的事情，他的父亲，因为受到当时
法国天主教会的迫害而自杀了。
十九岁（一八二九年）终于上了另外一所学校Ecole Normale，然而不久（一
八三零年）法国发生革命。当时Ecole Normale的校长把所有的学生都锁在学校里
面，只除可怜的迦罗华以外----他因为怀有民主理想，写了支持暴动骂校长的公开
信而被开除了。在Ecole Normale短短的一年时间里，迦罗华发表了三篇关于代数
方程的论文，并寄给法国科学院。当时科学院的秘书把它们带回家准备去读，不过
他在写出评价之前就死了，那些论文再也没人找得到。
开除以后二十岁不到的他试图开办他自己的数学学校，结果是没有人肯当他的
学生。然后他就加入了国民卫队，并且说了一句对于我们中国人或多或少熟悉的话
：如果必须用尸体来激励民众，拿我的去好了。具有戏剧性的故事还在后面：他这
个危险分子似乎是不可避免地被抓了起来，罪名是“试图谋害国王”。这本是求仁
得仁，但在法庭上法官不知为什么却又判他无罪。最后他还是被判了六个月的徒刑
，罪名是“illegally wearing a uniform”！
当他刑满释放后，他这一生第一次，也是唯一的一次卷入了爱情纷争。就象他
一惯的不走运，他这一次也没有好多少。性子火暴的他很快就对爱情，他的女友和
他自己完全厌恶了。几天过后情绪低沉的他接受了他的政敌的决斗挑战。他自己知
道他不会有什么机会赢，于是整晚就在写数学手稿，那是他短暂不幸而又闪亮的一
生唯一能够给他安慰，体现他的价值的东西了，也是他不愿随自己的生命带走的。
他把这些新的结果，连同那次被法国科学院弄丢的论文的结果寄给了他的朋友
Auguste Chevalier，然后在一八三二年五月三十日依约前往决斗场。
在那里他被射中腹部，一时断不了气。在送往医院的路上他对他兄弟说：“别
哭，我可是要鼓起全部勇气才能在二十岁去死呢。”痛苦结束于第二天，然后他被
安葬于一个连标记都没有的墓穴里。
二十四年以后，刘维尔整理并发表了迦罗华的一些文章和传记。而真正理解他
的成就，还要等到1870年约当写出Traite des substitutions，或者更晚一些，到
二十世纪克莱因（Felix Klein）和李（Sophus Lie）把他的理论系统地运用到几
何上去时人们才真正认识到他们曾经拥有过一个怎样的天才。迦罗华只活了二十岁
，写的全部论文只有六十页纸。在他生前他的数学思想不为人所理解，政治主张也
大逆不道。然而在他死后人们称他是现代代数学的开创者，而他的祖国，再也不会
有“谋害国王”这条罪名了。他真正当得起Bell的评论-----
In all the history of science there is no completer example of the
triumph of crass stupidity over untamable genius than is afforded by the
all too brief life of Evariste Galois.
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注：本文参照http://scidiv.bcc.ctc.edu/Math/网站中迦罗华的传记，Howard
Eves 《An Introduction to the History of Mathematics》和E. T. Bell《
Men of Mathematics》编成。
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岂能尽入人意,但求无愧我心
让我们把科学进行到底
附庸风雅者请进
对进化论有兴趣,那请进 |
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