发信人: k_xiaoyao(逍遥)
整理人: k_xiaoyao(2001-03-24 23:48:29), 站内信件
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数学的精神
球星
（序）
很久以前我就想写一篇这样的文章了。一方面，就我自己观察来看，很多非数
学专业的朋友甚至包括一些数学系的本科生对究竟什么是数学有一种不正确的理解
。这种流行的理解就是，数学是一种为其他科学服务的工具或者说语言。数学的任
务就是把已经列成式子的现实问题算出一个用数字表示的结果而已。我经常在我们
系的Studying Hall被一些外系的学生搞得哭笑不得，在他/她的眼里，我们就是一
群比别人算得快的奇怪动物。然而在我看来，数学无疑是具有自己独立精神的一门
科学，或者说是艺术。但是这一点往往只是在数学的教科书中被泛泛而谈，并不真
正让人信服。另外一个动力就是我想人的思想可以说九成九被他所占有的知识所决
定，读不同的专业的人很可能会有对世界的不同看法。这篇文章肯定是戴着我自己
的眼镜写的，正好衮衮诸公分析一下我的思想的缘起，俾能起到抛砖引玉的作用。
英国大数学家G. Hardy曾经说过[1]，对于一个数学家来说，不去证明任何定
理而只是泛泛而谈数学实在是令人感到悲哀，因为这种情况多半发生在一个因为年
老（对于数学家来说，四十岁就已经是老人了）而不再具有年轻时的创造性的人身
上。一个拥有创造力并正在改写当代数学的年青人不会屑于去向外行“谈数学”。
我现在还只是一个学生，在数学上和Hardy比只不过是个三岁毛头。按照中国古代
的说法小孩是不必忌讳的，所以就不必为泛泛而谈数学而感到任何不适。再说这个
世界上有许多的“外行”拥有比我更好的数学功底，还有更多的人其实比我更加具
有学数学的天份，我实在不敢有“不屑一顾”的傲气。
M.A. of Mathematics,
Ph.D. of Mathematics Candidate,
球星
11/25/00
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[1] G. Hardy, 《A Mathematician's Apology》。
（一） 数学对历史的两次推动
这篇文章到底要怎么下笔，我想了很久，最后还是认为该从历史谈起。西方有
一句形容古板学究的话，叫做言必称希腊。好吧就让我们从头谈起吧，从这个科学
皇后在希腊当黄毛丫头的场景开始吧。
埃及的亚历山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大学，第一座图
书馆。欧洲的战乱并没有怎么波及到这里，所以这里也成了当时西方世界第一流学
者的天堂。就是在罗马征服埃及以后，学术传统仍然被保留下来。当时的罗马皇帝
在各行省征收苛税，但对其它方面并没有干涉的兴趣。在科学和文学上，征服者是
崇拜希腊人的。罗马士兵在战乱中杀死了阿基米德，当时的统帅Marcellus垂胸顿
足，后悔莫及。后Henllenistic时期学术气氛仍算是宽松，Apollonius系统地研究
了圆锥曲线，托勒密等人对三角学推动很大，而丢番图提出的问题至今仍是纯数学
中的难题。
主历三二五年，罗马康斯坦丁大帝接受基督教为国教。那时希腊的最后一块属
地埃及也已经陷落三百五十五年了。从这以后曾经备受压迫的基督教（天主教）开
始成为压迫异端的急先锋。公元四七六年，西罗马帝国在北方各蛮族的不断打击下毁
灭。但是就象入侵并占领了汉族中国的满族人最终被同化一样，强大的基督教战胜
了罗马兵团所没有战胜的敌人----古罗马帝国垮掉了，他们的宗教思想却获得了前
所未有的胜利，基督的威势在欧洲的每一个角落建立起来。公元五二九年，在狂热
的天主教信徒不断的压力下，雅典学院因转播异端思想被关闭。在此之前亚历山大
大学和图书馆已经焚毁，整个古希腊数学时期就此结束了。
从此中世纪的阴影就一直在欧洲笼罩了一千年左右。要等到一五一七年马丁路
德在维滕贝格发表反赎罪券的《九十五条论纲》正式向教皇挑战并成为新教创始人
后欧洲的宗教垄断才被打破。在路德改宗前欧洲还发生了一些影响世界的大事情。
一四九二年一个叫克里斯托弗·哥伦布的意大利人发现了一个他称之为印度的庞大
新世界，以后各国特别是英伦三岛受宗教迫害的人们就找到了一个栖身之地，在这
之前在繁荣的意大利已经开始了文艺复兴，各种各样的新思潮和新技术伴随着新的
资本都在蠢蠢欲动。
这时候还有一些不是那么为正史所看中的人物在另外一个世界，一个只有靠人
类抽象的思辩才能够达到的世界里努力地耕耘着。他们是伽利略，开普勒，哥白尼
，帕斯卡，笛卡尔，莱布尼兹，牛顿..... 特别是牛顿和莱布尼兹所发现的微积分
，整个地改写了科学史。通过数学工具的极大改进，一系列原本用初等方法无从下
手的问题迎刃而解。一个对社会的影响当然是提高了当时的生产力的需求，从而孕
育出最终埋葬神权和君权的资产阶级，另外一个更加直接的影响却是从天文学上来
的。这个天文学在中世纪经院哲学里占了相当大的比重，因为按照基督教教义，天
体是天使和圣灵运行的轨迹，是完美的。天是圆的，地球在这个圆的最中心。当这
些观念被科学一个个地打破以后，教皇的权威，甚至说圣经本身的权威，才真正受
到了根本性的冲击。对于牛顿到底有多重要，下面这收诗大概可以反映一下吧：
“Nature and Nature's laws lay hid in night;
God said, 'let Newton be,' and all was light."[1]
信仰这个东西是非常奇怪的。和狂热的信徒谈天你会发现你几乎无法用另一套
信仰来改变他。这不仅仅是几百上千年以前中世纪的事，也不是只有西方民族或者
有宗教的地方才有。今天的朝鲜和昨天的民柬在信仰狂热的程度上绝不亚于费迪南
德和伊沙贝拉治下的西班牙。毕竟在那里宗教裁判所三个半世纪才烧死了三万两千
人，加上其他刑罚处死和间接死亡的，不过百万之数吧，而他们在亚洲的同仁们却
在短短的几十年内就达到了这个目标。其实就在几十年前我们的国家在思想领域又
何尝不是如此？七八年邓小平说出了一句“实践是检验真理的唯一标准”，没过多
久全国人民突然就发现了过去的荒谬----怎么会是那样呢？怎么会那么笨呢？在这
里皇帝的新衣一旦被揭下，谎言就变得一钱不值。今天的西方世界在回想起中世纪
的一幕幕场景时恐怕也和我们一样会觉得荒谬大于恐惧吧，为什么当时的人们会为
对圣经上某一句话的不同解释如此愤怒，以至于非要把同样是信奉上帝的兄弟姐妹
送上火刑架呢？甚至在英国有很长一段时间里竟然要在全国找最美丽的女人来烧死
，只因为当时那里的神学家确信这些美人是撒旦的化身！
路德和加尔文站起来挑战罗马教皇的权威了，但丁更早些在《神曲》里把教皇
判入了地狱，但是人们很快就发现，单凭文学和神学的革命并不能够改变上帝独一
无二的地位，人本主义并没有因为《神曲》而成为主流。甚至新教首领加尔文在教
皇鞭长莫及的日内瓦还烧死了塞尔维特，而且足足把他烤了两个小时。历史的车轮
似乎又在向着循环往复的轨道上滑去。靠神学本身的辩论只能够产生新的神学；靠
文学的启蒙可以产生怀疑，却无法最后战胜神学；靠地理上的发现可以解决一时的
压迫，但是一个清教徒的天堂依然让人们嗅到了旧世界信仰之争的味道；靠美学
----达·芬奇的名作并没有改变天主教堂的图案，再说这世上还有比那些送上火刑
架的“撒旦”更美的作品么？
只有真实和时间，才是战胜精神强权的终极力量。西方有一句话，说是（强权
）可以短时间欺骗所有人，也可以永远欺骗一些人，但是它不能永远欺骗所有人。
象317是个素数这样的真实，就是再坚强的神学信仰也只有在这个事实面前底头。
而物质生活的真实呢，一旦产业革命的机器开动起来，田园诗似的贵族们又如何抵
挡呢？打败旧制度的归根到底是靠以微积分为代表的理性击败了神学和以机器为代
表的新生产力战胜了贵族势力。如果没有这些，一切革命都将重复类似于中国农民
革命的老路。
牛顿和他之后一个世纪的科学家们生活在一个背靠绝对真理挑战世俗神权和政
权的伟大时代。在马斯顿荒原，英国革命军战胜了保王党的反动势力；在美洲，八
年艰苦的奋战打跑了日不落帝国的总督；在巴黎，第三等级废除了欧洲最顽固的君
主制。在那个时期的主流科学家头脑里，一个来源于物质世界，却又比它更加完美
的理性取代了华丽的拉丁文圣经。人作为上帝的影子的日子过去了，任何权势在真
理面前必须是平等的。微积分之后的科学文明中心在法国。那时全欧的人文主义旗
帜在以狄德罗和达郎贝尔为首的法国百科全书派学者手里。达郎贝尔对发展方程，
函数论和代数都有重大贡献，他有一句名言：“代数是慷慨的，你从她那里得的总
是比你想要的多”，另外他还说过，“几何上的真理是物理真理的渐进形式，就是
说后者无穷地逼近前者但却永不相交”[2]，这大概更加接近现代科学家们的想法
吧。
时间就这样一点一点却又是无可抗拒地从中世纪走到了十九世纪末。科学飞
速地发展着，正如当时的资本主义一样。神权和君权一点一点地退出了舞台，科学
和经济的力量似乎已经取得了全面的胜利。“上帝死了”，人作为主体出现在那个
喧嚣的世界。“这是一个最好的时代，这是一个最糟的时代”[3]。世界似乎是永
无休止地被开采着，人几乎可以凭机器做到一切想做的事。在自然科学上，一个与
这种自大相对应的是在那时，主流物理学家们认为这个世界的规律已经被发现完毕
了。一九零零年，英国的开尔文勋爵在皇家学会的新年致辞中自负地宣称，物理学
的大厦已经完成，今后物理学家的任务只是把实验做得更精确些（当然那时他并没
有料到，他眼中小小的“两朵乌云”——黑体辐射的理论解释和迈克尔逊—莫雷
实验对以太观念的冲击——引起了现代物理学翻天覆地的变化）。自然的，社会的
终极真理似乎就在人们手边。随后文明世界却遭到了空前的打击，那就是两次世界
大战。在那些年现实中的文明世界秩序已经在意大利，德国国家社会主义和日本军
国主义的冲击下荡然无存了。
两次世界大战，全人类为此付出了近一亿生命的代价。科学的标志既不是体现
在治病救人的青霉素上，也不是体现在纯粹数学和理论物理的完美结合广义相对论
上，而是体现在可以一次毁灭一个城市的原子弹上。西方人文主义的传统让位于民
族主义和意识形态，二战后东西方两大阵营相互敌对，势不两立。社会主义阵营的
故事我就不说了，美国的麦卡锡先生对美国共产党（毋宁说是同情共产党的左派知
识分子）的迫害也足以名垂青史。与中世纪不同的是，现在没有一个极权愚蠢到敢
于宣称科学在自己之下了，相反地这个权力为了强调自己的正确性合法性，往往宣
称自己是“科学”的。就算它还要迫害知识分子，也是用别的方法来进行。这种迫
害进行的方法说来也很简单，那就是先宣称自己是科学和正确的化身，然后让每一
个公民都相信，不“科学”不“正确”的人或者思想就必须予以消灭。最后给异端
贴标签的工作就比较容易了，各个不同的国家自有不同的方法和习惯。
好吧再让我们回到数学吧，回到这个比现实世界优美的避难所吧。让我们从本
世纪的最初看看数学的发展。在这一时期，数学学上出了一件大事。这件事在正史
中当然没有推倒柏林墙那么重要，但是其内在的意义，也许将比那个政治事件更能
让我们的后代共鸣。
德国数学家希尔伯特于一九零零年在巴黎国际数学家代表大会上作了一次演讲
[4]。在演讲中希尔伯特提出了二十三个公开问题，这些问题后来主宰了二十世纪
（至少是前五十年）的数学研究，几乎所有的第一流数学家都在为攻克这些难题而
奋斗。在这次著名的演讲中，他还说到：“.....每一个确定的数学问题，.....无
论这些问题在我们看来多么难以解决，无论在这些问题面前我们显得多么无能为力
，我们仍然坚定地相信，它们的解答一定能够通过有限步纯逻辑推理而得到。”这
一说法后来被称之为希尔伯特纲领，是人类可以解决一切问题在纯粹思辩领域的缩
减版本。这二十三个问题如今大部分已经被解决或者部分解决，剩下未被解决的问
题是如下几个：
第二问题：算数公里体系的相容性；
第六问题：物理公理的数学处理；
第八问题：素数问题；
第十二问题：Abel域上的Kronecker定理的推广。
这里面后两个基本上是独立的技巧性问题，而前两个却事关整个数学物理的基础，
进而对整个人类科学和逻辑产生影响。我不是搞物理的，就物理公理的数学化不好
作深入的评论，但是这无疑是希尔伯特或者说任何一个相信希尔伯特纲领的科学家
的一个“野心”吧，先在数学领域建立起可以解决一切问题的信心，然后再把物理
数学化，进而推广到一切人类的科学领域。就象运用数学归纳法时我们要证明两件
事：“对最基本的出发点成立；假设对n成立，证对n+1也成立”相仿，第六问题更
象是后一步，而第二问题则更象是前一步（的一个必要条件）。如果前一步走不通
，后一步也就失去了意义。
为了更好的说明问题，我想我不得不讲点专业化的东西了。大家都知道所有的
自然数{1，2，.....}是个无穷集合，而且肯定也知道全体实数，通常记作R的也是
个无穷集合。直观告诉我们，虽然都是无穷集合，后者比前者应该要“大”[5]。
数学怪才康托(Cantor）第一次给出了一个严格的证明，这个证明我想在实变函数
的第一章就可以找得到。康托还证明了一个和一般人直观很不一致的结论，那就是
一个正方形或者正方体的点数和一条小得可怜的一维线段的点数是“一样多”的。
这样一来一个自然的问题就出来了：有没有一种无穷大，它比自然数（数学上称之
为可数集）的无穷大要大，却又比实数（数学上称之为连续统）的无穷大要小？这
就是有名的希尔伯特第一问题，连续统假设了。
一九六三年美国的Paul J. Cohen以一个大家都意想不到的方式解决了这个问
题：连续统假设和实数公理体系（Zermelo-Fraenkel公里系统）是相互独立的，也
就是说，我们既不可以用实数公理来证明它，也不可能证伪！希尔伯特幸运地在这
个消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一年），一
个叫哥德尔[6]的年轻人已经彻底击碎了他的理想：在任何一个数学体系里，一定
存在既不能够被证明，也不能够被证伪的命题[7]。那一年希尔伯特已年近七旬，
而哥德尔二十五岁。在这里理想国里老派学者的纲领被年轻人彻底给击败了。和我
们骄傲的宣言正好成对比的是，数学的真理让我们知道我们永恒的无知。
时间似乎又回到了两千年前的古希腊。苏格拉底说：“我唯一知道的是我的无
知。”两千年来我们的智力不断地在发展，我们的科学不断地在完善，我们比起任
何一个时代都更有资格判断对错。我们甚至想要运用逻辑去证明一切事物都可以贴
上“正”“误”的标签。然后达到一个正确的天堂。而这时数学又一次改变了人类
的哲学，当人们盲目地崇拜上帝时她用锋利的矛挑战神性，而当人们把“正确”当
做新的偶像来崇拜时，又是她告诉人们，人类任何对真理的认识总有不足，地上不
仅仅没有神的天国，也没有绝对真理的标准。只有对不同的哪怕是错误的思想的包
容并蓄，只有放下打击“错误”的执着，凭着对异端的宽容，我们才能真正接近真
理。
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[1] 该诗为英国诗人亚历山大·普伯(Alexander Pope)所作。
[2] 《An Introduction to the History of Mathematics》, Howard Eves
[3] 《双城记》，狄更斯
[4] 《数学问题》，大卫·希尔伯特
[5] 这里的大小关系是按照基数等价类的方式来定义的。集合A和集合B等价指存在
一个映射f:A-->B, f是一一对应。而A“大于”B则是定义为存在A到B的满射，但A
，B间不存在一一对应。
[6] 哥德尔的英文是Kurt Godel, 但是要在中间的“o”上加两点。
[7] 这个结论也许太过于抽象了。Alan Turing（图灵）后来把这个结论用到计算
数学上去，得到如下的结论：存在数和函数不能够被任何logical machine（图灵
机？）所计算。
（二） 作为艺术的数学
如果有同学认真看了我写的序言，会看到我现在是M.A. 和Ph.D. 资格候选人
。这个M.A. 是拉丁文magister artium的缩写，而Ph.D.则是拉丁文
philosophiae doctor的缩写，这两个头衔直接翻译过来就是艺术硕士，哲学博士
资格候选人，看起来似乎和数学一点关系也没有。其实还不光是数学，在很多属于
理科范畴的专业都既有M.A.，也有M.S.（理学硕士）。而在几乎所有的学科，最高
学位都是Ph.D.（另外还有象医学博士M.D., 法学博士J.D.等，但从学术的角度讲
都比Ph.D.要稍差一点）。现在在西方这也只是一种从中世纪流传下来的习惯，不
过在我看来，它还保留有一点象征性的意义----Ph.D：无论什么学科到理论的顶点
都成为哲学；M.A.：自然科学也可以是艺术的一种。
我相信大家都曾经听说过“数学的美”这个概念。这个概念在课堂教学中虽然
从来不占主要地位，却仍然不断地为数学老师们所叙述。不过就我自己的经验言，
从小学到大学，绝大部分人并不认为这种美比神话故事真实多少。确实，当你面对
成千上万道刁钻古怪的习题，当你必须记住一大堆公式，计算某个数值精确到小数
点后多少多少位，或者解一个要把你的草稿纸横过来放才能写得下的方程组的时候
，如果听到下面这一段话，一定会觉得离自己太遥远了：
“数学，如果正确地看它，则具有.....至高无上的美----正象雕刻的美，是
一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音
乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺
术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种
觉得高于人的意识----这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里
得到。”[1]
正如同欣赏一首用英语写就的英文诗我们必须掌握这一语言一样，数学的公式
和符号，诸公理，定理体系就是这种我们必须要掌握的语言。另一方面，这些语言
本身并不具有美的意义，是它们的组合构成了美。诗有诗的组合法则，散文有散文
的，尽管它们用的可以是一种语言。这种法则是在语言背后的深层结构，通过这种
法则一个文学作品可以表达远远超过自面意义的内涵，从而唤起人们的美感。我们
要“看懂”一首象《荒原》这种技巧复杂的现代诗，不仅仅要懂英文或者看译文，
弄懂它的字面意义，还要通过学习掌握必要的文学欣赏能力。现在对于一个理工科
的大学生而言，基本的几何，代数和分析的工具都可说已经了解了，要看懂一个高
等数学定理证明的每个步骤恐怕都不难，真正极为欠缺的是第二种能力，也就是理
解并领会从左一步，右一步的推导过程中透露出来的内在规范的本领。
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岂能尽入人意,但求无愧我心
让我们把科学进行到底
附庸风雅者请进
对进化论有兴趣,那请进 |
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