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主题:关于存在其它实数系统的论证
发信人: bsese(b77 行)
整理人: bsese(2001-01-10 12:42:59), 站内信件
                            关于存在其它实数系统的论证

                                     包学行
                                  [email protected]

    前段时间对实数方面的争论[*]非常激烈,难解难分,我觉得首先要搞清以下的问题:
    一、论证的原则:
    定义1  证明路径  一个命题的证明中引用引理的序列称为证明路径,若证明中引用了中间推论,则引理的序列也包含中间推论的证明的引理序列。 
    论证的原则:在一个公设系统,若一个命题可由某证明路径证明其为真,但可由另一个证明路径证明其非真,则该命题已超越了该公设系统适用范围。
    二、标准分析的实数系统的引理:
    引理1  任何两个有理数间都有无限多个无理数。 
    引理2  任何两个无理数间都有无限多个有理数。 
    引理3  有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。  
    引理4  有理数集与无理数集的交集为空集。  
    引理5  若 a 与 b 都为实数,则 (a+b)/2 仍为实数,并a < (a+b)/2 < b,或 b <(a+b)/2 < a 。
三、标准分析的实数系统的推论:
定义2 邻点 一个数点紧相邻的数点称为邻点,一个动点从一个数点移到其邻点不经过其它数点。
推论1 邻点不存在。
证明:
设任取的实数 a 邻点存在,并设邻点为实数 b ,则根据 引理5 有
a < (a+b)/2 < b ,或 b < (a+b)/2 < a ,
一个动点从数点 a 移到 b 要经过点 (a+b)/2 ,所以 b 不是 a 的邻点,因实数 a 是任取的,所以任何实数的邻点都不存在。
证毕。
定义3 无理数连通域 若某二个无理数 w1 与 w2 为界的区间 [w1,w2] 中的数全为无理数,则称该区间为一个无理数连通域,可用该区间上的任一有理数 w 指称该无理数连通域为无理数 w 的连通域;当 w1 = w = w2 时,称所界定的无理数连通域中只有 w 这一个无理数。
定义3 是有各种适应性的,如果无理数 w 有与其它无理数连通,那么有 w1 ≠ w2 的情况存在,如果无理数 w 与任何其它无理数都不存在连通关系,那么就有 w1 = w = w2 的情况存在,并连通域仅存在于该最小的区间 [w,w] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定,定义中并未作限制。
推论2 无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在,即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内,也即无理数 w 与其它无理数不存在连通关系。
证明:
设无理数连通域 [w1,w2] 在 w1 ≠ w2 的情况下存在,那么 w1 与 w2 间就不再有有理数了,这将抵触
“引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。”
只有当无理数连通域 [w1,w2] 在 w1 = w = w2 的情况下,才不再抵触引理2,所以无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在,即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内,也即无理数 w 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论3 邻点存在。
证明:
无理数 w 与其它无理数不存在连通关系,根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
无理数 w 即然不与其它无理数连通,那么它只有先与有理数连通,一个单个的无理数先与有理数连通,显然它的邻点为有理数。
同理可证有理数的邻点为无理数[**]。
所以任何实数的邻点都存在。
证毕。

推论1 与推论3 是等权重的,你可用推论1 来否定推论3 ,也可用推论3 来否定推论1 ,这就使标准分析的实数系统对邻点问题产生了矛盾,根据论证的原则:
在一个公设系统,若一个命题可由某证明路径证明其为真,但可由另一个证明路径证明其非真,则该命题已超越了该公设系统适用范围。
这就说明了邻点问题已超越了标准分析的实数系统的适用范围。
要分析邻点问题,我们必须要建立一个对邻点问题不会产生矛盾的新的实数系统。


[*] 前段时间对实数方面的争论是指:
 在网易社区http://knl.gz.163.com/自然科学版老版区的:
 [+20] 喜欢有理数的数学幽灵 bsese 10.07 08:42
 [+4] 有理数逼近无理数定理如何证明 bsese 10.27 07:41
 [+5] 有理数多还是无理数多? BK 11.02 16:26
 [+5] 哪位大侠能找到一无理数α bsese 11.08 12:42
 [+7] 异调兄请进:关于无理数到底应选哪一个 bsese 11.13 12:40
 [+18] 关于实数构造问题 bsese 11.28 13:46
 [+4] 包兄请进,实数问题重开一栏 eigolomoh 12.06 19:09
 [+6] 关于包学行的实数理论 dropsun 12.09 16:52
 以及自然科学版新版式区的:
 [+6] 拜托,有谁来证明一下.(芝若悖论) chair_teng 12-25 15:07
 等论题。

[**]同理可证有理数的邻点为无理数:
定义4 有理数连通域 若某二个有理数 y1 与 y2 为界的区间 [y1,y2] 中的数全为有理数,则称该区间为一个有理数连通域,可用该区间上的任一有理数 y 指称该有理数连通域为有理数 y 的连通域;当 y1 = y = y2 时,称所界定的连通域中只有 y 这一个有理数。
定义4 是有各种适应性的,如果有理数 y 有与其它有理数连通,那么有 y1 ≠ y2 的情况存在,如果有理数 y 与任何其它有理数都不存在连通关系,那么就有 y1 = y = y2 的情况存在,并连通域仅存在于该最小的区间 [y,y] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定的,定义中并未作限制。
推论2 有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在,即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内,也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证明:
设有理数连通域 [y1,y2] 在 y1 ≠ y2 的情况下存在,那么 y1 与 y2 间就不再有有理数了,这将抵触
“引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。”
只有当有理数连通域 [y1,y2] 在 y1 = y = y2 的情况下,才不再抵触引理2,所以有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在,即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内,也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论4 有理数的邻点为无理数。
证明:
有理数 y 与其它有理数不存在连通关系,根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
有理数 y 即然不与其它有理数连通,那么它只有先与有理数连通,一个单个的有理数先与无理数连通,显然它的邻点为无理数。
证毕。


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包学行( [email protected] )

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