发信人: bsese(b77 行)
整理人: bsese(2001-01-10 12:42:58), 站内信件
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关于存在其它实数系统的论证（二）
包学行
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一、前段时间“关于存在其它实数系统的论证”在本版进行了讨论，本文就该
一问题继续进一步的论证。
二、标准分析的实数系统的引理：
引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。
引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。
引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。
引理4 有理数集与无理数集的交集为空集。
引理5 若 a 与 b 都为实数，则 (a+b)/2 仍为实数，并a < (a+b)/2 < b，
或 b <(a+b)/2 < a 。
引理6 无理数个数比有理数个数多。
三、标准分析的实数系统的推论：
定义2 邻点 一个数点紧相邻的数点称为邻点，一个动点从一个数点移到其邻点
不经过其它数点。小于该数的邻点称为左邻点，大于该数的邻点称为右邻点。
“关于存在其它实数系统的论证”一文已论证了邻点问题在标准分析实数系统中
可得出矛盾的推论，即
推论1 邻点不存在。
推论3 邻点存在。
这就说明了邻点问题已超越了标准分析的实数系统的适用范围。要分析邻点问题，
我们必须要建立一个对邻点问题不会产生矛盾的新的实数系统。
本文将进一步证明从前 4 个引理可推出与引理 6 矛盾的推论，来进一步地说明
标准分析实数系统不能正确地分析无理数个数与有理数个数比问题。
推论7 无理数个数与有理数个数一样多。
证明：
7.1 由“引理3 实数的完备性。”则实数在数轴上连续。
7.2 任一无理数 w 与其它无理数不存在连通关系（证明见“关于存在其它实数
系统的论证”一文的推论2的证明）。
7.3 由 7.1 与 7.2 我们总可以找到无理数 w 的一个不包含其它无理数的，
但却包含有其它实数的邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] ,其中 y1 < w < y2 ，
且 y1、y2 都为有理数。
7.4 由 7.3 与“引理3 实数的完备性。”则邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] 中除
w 外其余都是有理数，那么这个邻域可由区间 [y1,y2] 表达。
7.5 而区间 [y1,y2] 可以 w 为界左右分别各有一个有理数连通域，即 [y1,w)
与 (w,y2]。
7.6 有理数连通域 [y1,w) 中至少含有有理数 y1；有理数连通域 (w,y2] 中
至少含有有理数 y2。
7.7 设有理数连通域 [y1,w) 中除有理数 y1 外还有其它有理数，至少还有有
理数 y12，则 y1 与 y12 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两个
有理数间都有无限多个无理数。”所以 [y1,w) 中只有 y1 这一个有理数，
即 [y1,w) = [y1,y1] ，也即无理数 w 的左邻点为有理数 y1 。
7.8 设有理数连通域 （w,y2] 中除有理数 y2 外还有其它有理数，至少还有
有理数 y22，则 y2 与 y22 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两
个有理数间都有无限多个无理数。”所以 (w,y2] 中只有 y2 这一个有理数，
即 (w,y2] = [y2,y2] ，也即无理数 w 的右邻点为有理数 y2。
7.9 因无理数 w 是任取的，由 7.7 与 7.8 得任一无理数的邻点为有理数。
7.10 任一有理数 y 与其它有理数不存在连通关系（证明见“关于存在其它实数
系统的论证”一文的下半部分推论2的证明）。
7.11 由 7.1 与 7.2 我们总可以找到有理数 y 的一个不包含其它有理数的，
但却包含有其它实数的邻域 (w1,w2) 或 [w1,w2] ,其中 w1 < y < w2 ，
且 w1、w2 都为无理数。
7.12 由 7.3 与“引理3 实数的完备性。”则邻域 (w1,w2) 或 [w1,w2] 中除
y 外其余都是无理数，那么这个邻域可由区间 [w1,w2] 表达。
7.13 而区间 [w1,w2] 可以 y 为界左右分别各有一个无理数连通域，即 [w1,y)
与 (y,w2]。
7.14 无理数连通域 [w1,y) 中至少含有无理数 w1；无理数连通域 (y,w2] 中
至少含有无理数 w2。
7.15 设无理数连通域 [w1,y) 中除无理数 w1 外还有其它无理数，至少还有无
理数 w12，则 w1 与 w12 间就不再有有理数，这将抵触“引理1 任何两个
无理数间都有有限多个有理数。”所以 [w1,y) 中只有 w1 这一个无理数，
即 [w1,y) = [w1,w1] ，也即有理数 y 的左邻点为无理数 w1 。
7.16 设无理数连通域 （y,w2] 中除无理数 w2 外还有其它无理数，至少还有
无理数 w22，则 w2 与 w22 间就不再有有理数，这将抵触“引理1 任何两
个无理数间都有有限多个有理数。”所以 (y,w2] 中只有 w2 这一个无理数，
即 (y,w2] = [w2,w2] ，也即有理数 y 的右邻点为无理数 w2。
7.17 因有理数 y 是任取的，由 7.15 与 7.16 得任一有理数的邻点为无理数。
7.18 由 7.9 与 7.17 得实数序列中任一有理数都有邻点无理数，任一无理数都
有邻点有理数，将任一有理数与右侧的无理数邻点对应是一一对应序列，这
将得到有理数与无理数一样多的结论。
征毕。
以上的推论7 是从前 4 个引理中推出的，但却与引理6 相矛盾，这就说明了无理
数个数与有理数个数比问题已超越了的标准分析实数系统的适用范围。要分析无理数个
数与有理数个数比问题，我们必须要建立一个对无理数个数与有理数个数比问题不会产
生矛盾的新的实数系统。
四、建立新实数系统的从标准分析的实数系统修正探讨：
不过以下讨论的并不是一个完善的系统，尽管它可解决无理数个数与有理数个数比
问题，但仍不能解决邻点问题的矛盾。
把以下的修正系统暂称为N1#系：
引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。
修理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数，当且仅当二个无理数差为有限量
时成立。
（并追踪修正相关公设。）
引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。
引理4 有理数集与无理数集的交集为空集。
引理5 若 a 与 b 都为实数，则 (a+b)/2 仍为实数，并a < (a+b)/2 < b，
或 b <(a+b)/2 < a 。
引理6 无理数个数比有理数个数多。
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包学行( [email protected] )
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