发信人: eigolomoh(异调)
整理人: k_xiaoyao(2001-02-19 13:58:06), 站内信件
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另一种悖论
一、悖论和自指性引起的悖论
所谓的悖论，就是“如果确定其为真则能推出其为假，而如果确
定其为假则能推出其为真”的命题。所以悖论是一种既不真也不假的
命题，和假命题是不一样的。
我们已经非常熟悉经典的说谎者悖论了。现在所知它最早可能是
在公元前6世纪出现的，当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过：“所
有克里特岛人都说谎。”严格地说这不是一个悖论，因为如果“说谎”
是指一生中至少说过一次谎的话，爱皮梅尼特可能在其他时候说过谎，
而在说“所有克里特岛人都说谎”的时候，他并不在说谎。这时候爱
皮梅尼特的话是个真命题而不是悖论；如果一个克里特岛人一定要或
讲真话或说谎地过一辈子，也有可能爱皮梅尼特是个说谎的家伙，而
另有永远讲真话的诚实克里特岛人，因为“所有克里特岛人都说谎”
的反命题是“至少有一个克里特岛人不说谎”，而不是“所有克里特
岛人都不说谎”。所以这时爱皮梅尼特的话是个假命题而不是悖论。
如果爱皮梅尼特说：“我正在说谎。”那么这就成为悖论了。如
果他正在说谎，这句话道出了真相，所以他在说实话；可是如果他说
的是实话，他就正在说谎。
你可以看出来，这里引起悖论的原因是命题对本命题自身的性质
进行了叙述。有些悖论对这点作了改进。比如一张卡片的一面写着：
“反面写的是句假话”，而它的另一面写着：“反面写的是句真话”。
这里产生悖论的真正原因是一样的：自指性。命题甲对命题乙的性质
进行了叙述，而命题乙又对命题甲的性质进行了叙述，我们只不过兜
了一个比上面那个悖论稍微大一点的圈子。就象埃舍尔那著名的版画
所示，蛇绕了一圈，咬住了自己的尾巴。
绝大多数现在已经发现的悖论都和自指性有关，比如著名的罗素
悖论。我国古代的《墨经》中也点出过自指性会出悖论的道理：“以
言为尽悖，悖，说在其言。”就是说：如果认为所有的话都是错的，
那么这一定是错的，因为它本身就是一句话。美国著名的逻辑学家斯
穆里安（R. M. Smullyan）在他的逻辑科普作品《这本书叫什么？》
（有中译本，施宏达先生译）中介绍了许多这类悖论，有兴趣的朋友
可以找来看看，这是本非常好而且有趣的书。
为了消除在数学中的悖论，数学家化了很大力气，比如建立公理
集合论，这是所谓的形式主义的方法。不过现在数学家还不知道现在
最流行的ZFC公理集合论里是不是就没有矛盾和悖论了，不过数学家知
道，如果ZFC公理集合论里没有矛盾和悖论，他们是不可能用这套公理
系统去证明它自己的这个良好性质的（就是说，如果系统是好的，它
不会知道自己是好的。这话怎么这么绕，自指性嘛）。关于此点，彭
加勒有一段比喻：“我们已用围墙把一群羊围住，以防止野狼的入侵。
但我们不知这围墙内是否早已有野狼的存在。”
大家自然也会想到，如果不允许象上面那样的具有自指性的命题
存在的话，说不定我们就能排除悖论了。逻辑主义数学家就希望用这
样的方式来用逻辑把全部的数学推导出来以避免悖论。在这样的体系
里，命题都有自己的层次，高层次的才能对低层次的下判断，对同一
层次或比自己更高层次的就无权说三道四，这样就避免了象前面那样
绕圈子造成自指性的局面。这样的数学体系十分复杂。罗素和怀特海
辛辛苦苦写的厚厚几卷《数学原理》，里面关于1的定义被彭加勒嘲讽
为“这是一个可钦佩的定义，它献给那些从来不知道1的人。”
二、非自指性悖论
上面关于悖论的介绍真是老生常谈了。可是我拉拉扯扯说了这么
多，并不是要向大家第一百零一遍地普及这些东西，而是想说说另一
种悖论，不是由自指性引起的悖论。
想象有一本无穷页的书，上面的每一页都写着一句话：
“本页后的各页中，至少有一句假话。”
命题里虽然用了“本页”，但是不牵涉自指性。因为这里“本页”和
“本页后的各页”的定义是十分清楚的，比如第9页上所说的“本页”
就是第9页，“本页后的各页”就是从第10页开始的所有页，它们的意
义不会因为其他页中所叙述的内容而改变。（那个双面卡片的悖论里
提到的“反面”其实就是“本面的反面”，意义很清楚，这本身不形
成自指性；形成自指性的是“反面写的”：“反面写的”取决于反面
的内容，而反面的内容却又提到了“反面写的”也就是本面的内容。
这才是绕圈的地方。）如果这样解释还不明白的话，我们可以把书上
第n页的话改为：
“从第n+1页开始，后面的各页中，至少有一句假话。”
这样就没有什么“本页”了。
其次，这里第n页的内容是对它后面的各句话所作的叙述，而所有
后面这些话都决不会对第n页的内容作叙述，所以这里没有象双面卡片
那样的圈子。
可是这的确是一个悖论。如果书上句句是真话——且慢，这绝对
不可能，书上每句话都说书上至少有句假话；所以一定至少有句假话。
我们假设第n页是最早开始讲假话的那页，它的那句假话就是“从第n+1
页开始，后面的各页中，至少有一句假话。”那么真话就该是“从第
n+1页开始，后面的各页中都是真话。”问题是，和开始的推论相同，
从第n+1页开始，后面的各页中说的就是后面各页里至少有句假话。
都是无穷惹的祸。 |
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