发信人: puff()
整理人: gzbigegg(2000-12-05 11:10:52), 站内信件
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【 在 freefishes (koko) 的大作中提到: 】
: 在一个10*10的棋盘的每一个小格中从左到右,从上到下分别依次填入1,2,
: ...,100.显然,第一行是1,2,...10,第二行是11,12,...,20,....第十行为
: 91,92...,100.
: 现在改变其中50个数的符号,使每行每列各包含5个正数5个负数.
: 请问现在这100个数的和有什麽特点?为什麽?
必为0
在列方向上，如第一列，个位都是1，由于该列有5+5-，
所以该列个位数为0；十列均如此，所以总和个位=0
所以原来总和等于以下方阵经同样的改变符号后各元素总和：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 20
. . .
90 90 90 90 90 90 90 90 90 100
对于这个方阵，不难发现其每一行也有和上面类似的特点，
不同之处在于其最后一列与其它列不同。那么我们先把最后
一列中每个元素A(k,10)看作 (k-1)*10 + 10
这样可知方阵每行之和均为10或-10
因为各为5个，所以总和为0
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※ 来源:．网易 BBS bbs.netease.com．[FROM: ppp37.east.cn.net]
发信人: dgse (莫愁前路无知己), 信区: IQ
标 题: Re: 求和
发信站: 网易 BBS (Mon Mar 22 13:12:44 1999), 转信
可以证明对所有2k*2k(k是自然数)的棋盘都有如下结论:
答案是零. 我们只要说明改变符号的数的总和与未改变符号
的数的总和相等就可以了.
应该说满足题目条件的改变数的符号的做法有很多种.
我们发现如果不在同一行也不在同一列的两个数(这两个数所在
的行和列可以组成一个矩形,这两个数分别在矩形的对角点上).
把这两个数符号改变和把另外两个对角点的符号改变,其他的数
的符号不变,可以看出这两种改法都是满足条件的改法.而且由于
对角点的数的和相等.所以这两种方法的改变符号的数的总和是
不变的.
进一步,我们用同样的办法改变数的符号.可以得到结论:
所有满足条件的改法的改变符号的数的总和不变.
这样我们可以选取一个特殊的改法计算数的总和.
把棋盘分成一个"田"字格,左上的那个"口"和右下的"口"
中的数都改变符号.容易计算它们数的和为
(1+4*k^2)*k^2=总和的一半.
所以两部分和相等.它们的差为零.
【 在 freefishes (koko) 的大作中提到: 】
: 在一个10*10的棋盘的每一个小格中从左到右,从上到下分别依次填入1,2,
: ...,100.显然,第一行是1,2,...10,第二行是11,12,...,20,....第十行为
: 91,92...,100.
: 现在改变其中50个数的符号,使每行每列各包含5个正数5个负数.
: 请问现在这100个数的和有什麽特点?为什麽?
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※ 来源:．网易 BBS bbs.netease.com．[FROM: bbs.huizhou.gd.cn]
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