程序设计中，有一种特殊的程序——递归程序，递归程序是直接调用自己或通过一系列的过程间接调用自己的程序。递归程序在程序设计中经常出现，因此应该学会使用递归程序求解问题，但递归程序运行的效率一般都比较低，因此应对递归程序进行优化。
下面结合旅行家问题谈谈递归的优化。
一．递归程序的实现
旅行家问题如下：旅行家要旅行N个城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是有名的N—P难题之一。在N很大时，并不采用本文所用的递归遍历方法，而是采用其他方法，如神经网络、遗传算法等，得到问题的解。
要得到N个城市依次经历的最短路径，应把各个对N个城市的经历所经过的路程相比较，选出其中的最小值作为返回结果。
用递归程序解决旅行家问题时，思路与循环方法一样：找出各种可能的经历顺序，比较在各个顺序下所走的路程，从中找出最短路程所对应的经历顺序。该问题中如何通过递归得到对所有可能路径的经历应作为重点，而对路程的计算、比较、更新与循环方法类似。在该问题的递归调用中，第n对第n-1层传递过来的已经经历的城市进行判断，以决定是否已经遍历，如果N个城市已经遍历，则计算、比较、更新路程，然后向上一层返回；如果没有遍历，则选择一个未经历的城市加入已经历的城市并一同传递给第n+1层。在这里，第n层调用传入的参数可以看成已经经历的城市和已确定的最短路程，返回的结果可以看成经更新的最短路程与经历顺序。
在Java中定义一个类
Class Cities
{
private int[][] cities； //各城市表示为（X,Y）X,Y为0到99之间的值
private int[] shortestPath； //保存最短路程对应的经历顺序
private int num； //保存N（城市个数）
private long shortestLength = 100000000；//N个城市遍历时可能最大路程
private long getLength(int[] tPath) {．．．} //计算以tPath为经历顺序的路程
public Cities(int n) //构造n个城市的坐标，假设为0到99之间的随机数
{
．．．
}
public int[] getShortestPath() //获得最短路径
{
int[] tempPath = new int[num]；
shortestPath = new int[num]；
int[] citiesToured = new int[num]； //保存第I个城市是否已经经历
int citiesNum = 0； //已经经历城市的个数
for(int i=0； i<num； i++)
citiesToured[i] = 0；
goThrough(tempPath, citiesNum, citiesToured)；//遍历各城市
for(int i=0； i<num； i++)
tempPath[i] = shortestPath[i]； //得到遍历顺序
return tempPath； //返回结果
}
private void goThrough(int[] tPath, int cNum, int[] cToured) //遍历N个城市
{
if (cNum == 0) //无经历城市时，选择第1个城市
{
cNum++；
tPath[0] = 0；
cToured[0] = 1；
goThrough(tPath, cNum, cToured)；
}
else if (cNum == num) //各个城市已经经历，结束
{
long tempLength = getLength(tPath)；//计算此经历顺序所走的路程
if (tempLength < shortestLength) //比较路程
{
shortestLength = tempLength； //更新最短路程及其经历顺序
for(int i=0； i<num； i++)
shortestPath[i] = tPath[i]；
}
}
else
{
for(int i=0； i<num； i++)
if (cToured[i] != 1) //选择未经历的城市
{
cToured[i] = 1； //加入已经历城市
tPath[cNum]= i；
cNum++； //已经历城市个数+1
goThrough(tPath, cNum, cToured)；//调用下一层
cToured[i] = 0； //恢复本层的状态：
cNum--； //已经历城市及个数
} //End if in for(i)
} //End else
}
private long getLength(int[] tPath) //以指定顺序计算遍历路程
{
long length = 0； //路程
int nowPoint = 0； //当前城市，第一次取0
for(int i=1； i<num； i++)
{
int j = tPath[i]；
length+=(long)Math.sqrt((cities[j][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[j][0]-cities[nowPoint][0])+(cities[j][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[j][1]-cities[nowPoint][1]))；//加上当前、下一城市间的距离
nowPoint = j； //更新当前城市
}
length+=(long)Math.sqrt((cities[0][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[0][0]-cities[nowPoint][0]) +(cities[0][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[0][1]-cities[nowPoint][1]))；//加上首尾城市间的距离
return length；
}
} // Cities类定义结束
在这里使用递归，实现了对N可变时问题的求解。
三．递归程序的优化
递归程序的优化是程序优化的一种，具有程序优化的一般性，同时更应考虑它的特殊性。递归程序优化中应主要着眼尽快结束递归，避免无谓的调用，因为结束得越早，程序所付出的代价就越小。
在旅行家问题中，对城市的遍历goThrough函数是递归程序，下面讨论对它的优化。
Ⅰ．该问题的第一次优化：各个城市之间的距离在Cities类构造时就已经确定，而每一次遍历各个城市后，getLength函数都要计算一次相邻两城市及首尾城市间的距离，显然城市间距离的计算只要进行一次就可以了。因此可以定义一个函数InitDistance，在构造函数Cities()中调用，并重新定义getLength函数，直接对相邻及首尾城市的距离取和。如下：
1．类中增加属性private long[] distance； //在InitDistance方法中构造
2．定义私有方法 private void InitDistance() //计算各个城市之间的距离（由于仅计算一次，故未优化）
private void InitDistance()
{
distance = new long[num][num];
for(int i=0；i<num； i++)
for(int j=0；j<num；j++)
{
if (i == j)
distance[i][j] = 0L；
else
distance[i][j]=(long)Math.sqrt(
(cities[i][0]-cities[j][0])*(cities[i][0]-cities[j][0]) +(cities[i][1]-cities[j][1])*(cities[i][1]-cities[j][1]))；
}
}
3．重新定义getLength
private long getLength(int[] tPath)
{
long length = 0L；
for(int i=1；i<num； i++)
length += distance[tPath[i-1]][tPath[i]]；
length += distance[tPath[0]][tPath[num-1]]；
return length；
}
4．重新定义构造函数Cities(int r)
public Cities(int r)
{ ．．．
InitDistance()； //计算各个城市间的距离
}
Ⅱ．该问题的第二次优化：考虑下面的情况，经历顺序为1—2—3—4—5—6—与1—2—3—4—6—5—二者中前四个城市经历顺序相同，可以定义一个变量来保存已经历的路程，只有在经历顺序改变的时候才对已经历的路程进行更新。进行如下优化：
1．增加private long touredLength属性并初始化为0，用来记录到“目前”为止所经历的路程。
2．重新定义goThrough
private void goThrough(int[] tPath, int cNum, int[] cToured)
{
．．． // 同上
else if (cNum == num)
{
long tL = touredLength + distance[tPath[num-1]] [tPath[0]]；▲// tL记录已经历的路程
（用▲标志改进点，下同）
if (tL < shortestLength)
{
shortestLength = tL；
for(int i=0; i<num; i++)
shortestPath[i] = tPath[i]；
}
}
else // 0< citiesNum <N
{
for(int i=0； i<num； i++)
if (cToured[i] != 1) //Not Toured
{
tPath[cNum]= I；
cToured[i] = 1；
touredLength += distance[tPath[cNum-1]] [i]；▲
cNum++；
goThrough(tPath, cNum, cToured)；
cNum--；
touredLength -= distance[tPath[cNum-1]] [i]；▲
cToured[i] = 0；
}
}
}
3．去除getLength。
Ⅲ．该问题的第二次优化：进一步考虑对路程的计算，设想下面的情况：N=5，已经历了2个城市，且旅行路程为200，目前已知的最短路程为260，而其他三个城市的任意两个城市之间的距离大于30。在这种情况下，再继续遍历只是徒劳，此时就可以结束调用返回。针对这种情况，如下优化：
1．增加属性 private long shortestDistance[]，来保存城市之间的最短距离，次最短距离，次次最短距离，．．．，并在InitDistance中得到各距离的值。
private void InitDistance()
{
．．．
shortestDistance = new long[num +1]；
shortestDistance[0] = 0；
for(int i=0； i<num； i++)
{
long dis = 10000L；
for(int j=i+1； j<num； j++)
if (distance[i][j] < dis)
dis = distance[i][j]；
shortestDistance[i+1] = shortestDistance[i] + dis；
}
}
2．更新goThrough
private void goThrough(int[] tPath, int cNum, int[] cToured)
{
．．．
else if (cNum == num)
{
long tL = touredLength + distance[tPath[num-1]] [tPath[0]]；
if (tL < shortestLength)
{
shortestLength = tL；
for(int i=0； i<num； i++)
shortestPath[i] = tPath[i]；
}
}
else // 0< citiesNum <num
{
if (touredLength + shortestDistance[num - cNum] < shortestLength) ▲
//如果已经历的路程+可能的最短路程>已知的最短路程，则不再继续走下去
{
for(int i=0； i<num； i++)
if (cToured[i] != 1) //Not Toured
{
tPath[cNum]= i；
cToured[i] = 1；
touredLength += distance[tPath[cNum-1]] [i]；
cNum++；
goThrough(tPath, cNum, cToured)；
cNum--；
touredLength -= distance[tPath[cNum-1]] [i]；
cToured[i] = 0；
}
}
}
}
比较各种优化方法的求解时间，得到下表的数据（Windows 98，PIII550，128M）：
|
方案
问题规模 |
仅用citiesToured |
引入distance改进getLength |
引入touredLength,去除getLength |
引入shortestDistance |
|
N=10 |
1850毫秒 |
390毫秒 |
100毫秒 |
不足1毫秒 |
|
N=12 |
220000毫秒 |
48200毫秒 |
1000毫秒 |
100毫秒 |
从以上数据可以得出结论：递归程序一般都有很大的优化空间，递归程序经过优化后，可以在很大程度上提高程序的效率。经过优化的程序既保留了递归程序简单易读的特点，又在一定程度上弥补了程序时间效率低的不足。
同时，也可以看出递归程序的先天缺陷，在现实中大规模的旅行商问题递归程序是无法解决的（在可以接受的时间内），普遍采用的是遗传算法来解决，因此应事先决定是否采用递归程序来解决自己的问题。即使如此，本文对于可以应用的递归程序来讲也具有一定的参考意义。 
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