发信人: bsese()
整理人: bsese(2000-06-19 12:45:18), 站内信件
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欧拉函数与因数个数函数的关系
包学行
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前几天在温州市图书馆翻资料，看到了数学家陈省身赠给温州市
图书馆的一本书，书名是《数论妙趣──数学女王的盛情款待》，陈
省身在该书上题了：
“迎接２０００数学年
陈省身 1997”
该书为谈祥柏译，[美]阿尔伯特·Ｈ·贝勒著，上海教育出版社
1997年版。
我被该书关于“欧拉函数”的一章所吸引，欧拉函数的定义为：
小于自然数Ｎ并与Ｎ互质(除１以外无其它公因子)的自然数的个
数用函数Ф(N)表示，称为欧拉函数。
任意的自然数Ｎ分解为素数幂的连乘积的一般表达式是
N = p1^a1·p2^a2·p3^a3·……·pn^an， （１）
则
Ф(N) = p1^(a1-1)·(p1-1)·p2^(a2-1)·(p2-1)
·p3^(a3-1)·(p3-1)·……·pn^(an-1) · (pn-1)，（２）
上（２）式中并没有把欧拉函数表示为Ｎ的显函数。
根据欧拉函数的定义，对于任意素数p有
Ф(p) = p - 1 ， （３）
如果设自然数N的因数个数函数为f(N)，则它们间的关系有
小于或等于N的自然数
/ \
N的因数 非N的因数
<个数为f(N)> / \
/ \ N的互质数 非N的因数但
N的素因数 N的非素因数 <个数为Ф(N)> 与N有公因子
但上树还有一不理想之处，这就是通常把１看成是自然数的因数，而
１与Ｎ也没有其它公因子也是一个Ｎ的互质数。
关于“因数个数函数”可见主页http://www4.netease.com/~b77/，
本文的html格式可见主页http://www.my169.com/~bao/。
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o bsese(b77 行) o
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