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整理人: bsese(2000-04-14 19:48:47), 站内信件
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因数个数函数的推导证明
包学行
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对于任一个大于 1 的自然数 n 总有有限个可整除它的自然数，
设为 f 个，则 f 与 n 之间存在一种函数关系。
设自然数 n 的能整除它的因数个数函数为 f(n) ，简称为“因
数个数函数”。
在一个纵坐标为 f(n) , 横坐标为 t 的坐标平面上，我们可用
在各区间 [ n - 0.5 ，n + 0.5 )上个个脉宽为 1 ，幅度为 f(n)
的单向矩形脉冲来表达“因数个数函数”的一种几何描述图形（图 1
上方）。
( 图 1 见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/b77/gdbh/gdbh0003/image002.gif )
脉宽为 1 已把本来分布于各自然数点处的因数个数的值延伸给
一个区间 [ kN - 0.5 , kN + 0.5 )，因此自变量已由自然数 n 扩
展为实数 t 。函数 f(n) 扩展为 f(t), f(n) 是 f(t) 中的一个
“梳”,即
f(n) = f(t) |t=n, (1)
< f(t) |t=n 表示当 t = n 时的 f(t)>
再看周期为 N ，脉宽为 1 ，幅度为 1 的单向矩形周期脉冲，
各脉冲位于区间 [ kN - 0.5 , kN + 0.5 )处，k 为自然数。这些
脉冲的中心将位于所有能被 N 整除的数 kN 处。设这个周期脉冲为
Φ(N,t)，则
0， t ∈ [ kN + 0.5 , kN + 0.5 )，
Φ(N,t) = {
（2）
1， t ∈ [ kN - 0.5 , kN + 0.5 )，
图1 下方画出了 N = 1, 至 N = 6 的几个Φ(N,t)的局部图形。
我们知道波的迭加会产生“拍”，如果把 N = 1,2,3,……,n 的所
有周期脉冲 Φ(N,t) 迭加，如果 N 自 1 至 n 中有任何能整除 n 的
数都将在区间 [ n - 0.5 , n + 0.5 ) 处有一个幅度为 1 的脉冲，
这些脉冲的迭加将产生一个“拍”，“拍”的幅度为能整除它的因数
个数，因此有
f(t) = Σ(N=1,n)Φ(N,t) , (3)
Φ(N,t) 的基频的角频率为
ω= 2π/N, (4)
( π 为圆周率）
我们可将 Φ(N,t) 展开为富里叶级数[1]
Φ(N,t)
= a0/2+Σ(k=1,∞)[ak coskωt+bk sinkωt]
= a0/2+Σ(k=1,∞)[ak cos(2πkt/N)+bk sin(2πkωt/N)], (5)
(5)式中的
a0 = (2/N)∫(-N/2,N/2)Φ(N,t) dt
= (2/N)∫(-N/2,-1/2)0dt
+(2/N)∫(-1/2,1/2)1dt
+(2/N)∫(1/2,N/2)0dt
= (2/N)∫(-1/2,1/2)dt
= 2/N， (6)
ak=(2/N)∫(-N/2,N/2)Φ(N,t) cos(2πkt/N)dt
= (2/N)∫(-N/2,-1/2)0cos(2πkt/N)dt
+(2/N)∫(-1/2,1/2)1cos(2πkt/N)dt
+(2/N)∫(1/2,N/2)0cos(2πkt/N)dt
= (2/N)∫(-1/2,1/2)cos(2πkt/N)dt
= (2/N){N/(2πk)sin[2πk(1/2)/N]-N/(2πk)sin[2πk(-1/2)/N]}
= 2N/(2kNπ){sin(kπ/N)-sin(-kπ/N)}
= 1/(kπ){sin(kπ/N)+sin(kπ/N)}
= 2/(kπ)sin(kπ/N)， k=0,1,2,3,……,∞, (7)
bk=(2/N)∫(-N/2,N/2)Φ(N,t) sin(2πkt/N)dt
= (2/N)∫(-N/2,-1/2)0sin(2πkt/N)dt
+(2/N)∫(-1/2,1/2)1sin(2πkt/N)dt
+(2/N)∫(1/2,N/2)0sin(2πkt/N)dt
= (2/N)∫(-1/2,1/2)sin(2πkt/N)dt
= (2/N){-N/(2πk)cos[2πk(1/2)/N]-(-1)N/(2πk)cos[2πk(-1/2)/N]}
= 1/(kπ){-cos[πk/N]+cos[πk/N]}
= 0， k=0,1,2,3,……,∞, (8)
将(6)(7)(8)式代入(5)式，得
Φ(N,t)
= a0/2+Σ(k=1,∞)[ak cos(2πkt/N)+bk sin(2πkωt/N)]
= (2/N)/2+Σ(k=1,∞)[2/(kπ)sin(kπ/N)cos(2πkt/N)+0 sin(2πkωt/N)]
= 1/N+Σ(k=1,∞)[2/(kπ)sin(kπ/N)cos(2πkt/N)]
= 1/N+2/πΣ(k=1,∞)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkt/N)], (9)
从图1 下方的 Φ(N,t) 图形可知，在区间 (n-0.5, n+0.5) 上 Φ(N,t) 为
平行于 t 轴的水平线，对 (2) 式 Φ(N,t) 求关于 t 的导数，得
Φ'(N,t) = 0, (10)
根据李普希兹判别法则的推论[1]，因 Φ(N,t) 的导数在区间
(n-0.5, n+0.5) 上存在，所以在区间 (n-0.5, n+0.5)，上述(9)式
收敛于Φ(N,t)。最关心的n点正在区间 (n-0.5, n+0.5) 的中心。
将(9)式代入(3)式，得
f(t) = Σ(N=1,n)Φ(N,t)
= Σ(N=1,n){1/N+2/πΣ(N=1,∞)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkt/N)]}
= Σ(N=1,n)(1/N)+Σ(N=1,n){2/πΣ(k=1,∞)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkt/N)]}
= Σ(N=1,n)(1/N)+2/πΣ(N=1,n){Σ(k=1,∞)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkt/N)]}
= Σ(N=1,n)(1/N)+2/πΣ(k=1,∞){Σ(N=1,n)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkt/N)]}
,
(11)
在区间 (n-0.5, n+0.5) 上(11)式是n个收剑级数的和，上述 (11) 式
收敛于f(t)。最关心的 n 点正在区间 (n-0.5, n+0.5) 的中心，因
f(n) 为 f(t) 在 t = n 时的一个“梳”，将 t = n 代入(11)式即得
到因数个数函数可表达为
f(n)
= Σ(N=1,n)(1/N)+2/πΣ(k=1,∞){Σ(N=1,n)[1/k sin(kπ/N)cos(2πkn/N)]}
,
(12)
推导证明毕。
讨论：因数个数函数，可以有不同的表达方式，因为将定义在自然
数域上的f(n)扩展为定义在正数域上的f(t)后，只要满足在n点的某邻域
上连续，并
f(t) |t=n = f(n), (1)
< f(t) |t=n 表示当 t = n 时的 f(t)>
就可使f(t)的富里叶展开式在t=n点收敛于f(n)。满足上述条件的f(t)有
无限多个。所以因数个数函数的表达方式也有无限多种。
其它表达形式的因数个数函数的推导证明方法类同，在此就不再一
一证明了。
(本文的 html 格式见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/ )
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参考文献：
[1]数学分析（下册），复旦大学数学系主编，上海科学技术出版社1962年
第二版，第721，741页。
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