发信人: bsese()
整理人: bsese(2000-04-06 12:50:37), 站内信件
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用方程筛证哥氏猜想的试探(一)
包学行
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（续“用方程筛证哥氏猜想的试探”一文，对“四、 运用数学归纳法前
的准备”一节作补充）
四、 运用数学归纳法前的准备
设 Δ 为任一自然数，则 n + Δ 也为自然数，根据 (2.5) 式 F(n) 与
F(n+Δ) 都存在，设它们的差为
FΔ(n, Δ) = F(n+Δ) - F(n)， (4.1)
移项，得
F(n+Δ) = F(n) + FΔ(n, Δ)， (4.2)
当 Δ = 2 时，有
F(n+2) = F(n) + FΔ(n, 2). (4.3)
为了用数的因数个数函数建立方程筛，需要知道因数个数函数，那么因数
个数函数是什么样子的呢？
作者1988年至1992年通过反复的推导，找到一种用无穷级数表达的因数
个数函数：
f(n)=∑(T=2,n)(1/T)+2/π{∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]
+∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } + 1, (4.5)
除1与自身外的因数个数函数：
F(n)=∑(T=2,n)(1/T)+2/π{∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]
+∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } - 1, (4.6)
及方程筛：
∑(T=2,n)(1/T)+[2/π]{ ∑(T=2,n)[∑(t=1,T-1)F0+∑(t=T+1,n+1)F0]
+∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n)F0 } - 1 = 0, (4.7)
上述(4.4)(4.5)(4.6)式中的
F0 = F0( t, T, n )
= ( 1 / t )sin( π t / T )cos( 2n π t / T ),
(4.8)
该方程筛的推导过程以后将在我的个人主页 http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/ 上发表，因推导的过程非常长，目前一时
还不能马上发表。
方程筛虽有无限多项，但可以把 F(n+Δ) 的每项都拆成属于 F(n) 的部
分与属于 FΔ(n, Δ) 的部分。把 (4.8) 式 F0 拆成属于 F(n) 的部分与属
于 FΔ(n, Δ)的部分，则有
F0(t,T,n+Δ) = (1/T)sin(πt/T)cos[2(n+Δ)πt/T]
= (1/T)sin(πt/T)cos[2( n )πt/T]
-(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+Δ)πt/T]
= F0(t,T,n) + F0Δ(t,T,n, Δ), (4.9)
其中
F0Δ(t,T,n, Δ）= -(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+Δ)πt/T] ，
(4.10)
当 Δ = 2 时，有
F0(t,T,n,2) = -(2/t)sin(πt/T)sin(2πt/T)sin[(2n+2)πt/T],
(4.11)
下面根据 (4.3) 与 (4.6) 式从 F(n+2) 推出其中的 F(n) 与 FΔ(n, 2) ，过程
如下：
F(n+2)
=∑(T=2,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[∑(t=1,T-1)F0(t,T,n+2)
+∑(t=T+1,n+3)F0(t,T,n+2)] +∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n+2) } - 1
=∑(T=2,n+2)(1/T)+{∑(T=2,n+2)[∑(t=1,T-1)(F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2))
+∑(t=T+1,n+3)( F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2) ) ]
+∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)( F0(t,T,n)+F0Δ(t,T,n,2) ) } - 1
=∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)
+∑(t=T+1,n+3)F0(t,T,n) ]
+∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1
+∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)
+∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]
+∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) }
=∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)
+∑(t=T+1,n+1)F0(t,T,n) ]
+∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1
+{ ∑(T=n+1,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)
+∑(t=n+2,n+3)F0(t,T,n) ]
-∑(t=n+2,n+3)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) }
+∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)
+∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]
+∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) }
= F(t,T,n) + F(t,T,n,2),
(4.12)
我们再把 (4.12) 式的最后结果分为二部分，其中：
F(t,T,n) = ∑(T=2,n)(1/T)+{ ∑(T=2,n)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)
+∑(t=T+1,n+1)F0(t,T,n) ]
+∑(t=n+2,∞)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) } - 1 ，
(4.13)
F(t,T,n,2) = { ∑(T=n+1,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0(t,T,n)
+∑(t=n+2,n+3)F0(t,T,n) ]
-∑(t=n+2,n+3)∑(T=2,n+2)F0(t,T,n) }
+∑(T=n+1,n+2)(1/T)+{ ∑(T=2,n+2)[ ∑(t=1,T-1)F0Δ(t,T,n,2)
+∑(t=T+1,n+3)F0Δ(t,T,n,2) ]
+∑(t=n+4,∞)∑(T=2,n+2)F0Δ(t,T,n,2) } ，
(4.14)
上 3 式中的 F0(t,T,n) 与 F0Δ(t,T,n,2) 由 (4.8) 式与 (4.11) 式确定。
本文的html格式过些天后见“微星哥们”主页
http://www4.netease.com/~b77/
或 http://www.my169.com/~bao/
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※ 修改:．bsese 于 Apr 6 11:12:02 修改本文．[FROM: 61.130.87.105]
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.130.87.210]
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