发信人: eigolomoh(异调)
整理人: eigolomoh(2001-07-13 18:42:56), 站内信件
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M 作 者: bsese(b77 行) 2000-12-29 13:00:24
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关于存在其它实数系统的论证
包学行
[email protected]
前段时间对实数方面的争论[*]非常激烈，难解难分，我觉得首先要搞清以下的问题：
一、论证的原则：
定义1 证明路径 一个命题的证明中引用引理的序列称为证明路径，若证明中引用了中间推论，则引理的序列也包含中间推论的证明的引理序列。
论证的原则：在一个公设系统，若一个命题可由某证明路径证明其为真，但可由另一个证明路径证明其非真，则该命题已超越了该公设系统适用范围。
二、标准分析的实数系统的引理：
引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。
引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。
引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。
引理4 有理数集与无理数集的交集为空集。
引理5 若 a 与 b 都为实数，则 (a+b)/2 仍为实数，并a < (a+b)/2 < b，或 b <(a+b)/2 < a 。
三、标准分析的实数系统的推论：
定义2 邻点 一个数点紧相邻的数点称为邻点，一个动点从一个数点移到其邻点不经过其它数点。
推论1 邻点不存在。
证明：
设任取的实数 a 邻点存在，并设邻点为实数 b ，则根据 引理5 有
a < (a+b)/2 < b ，或 b < (a+b)/2 < a ，
一个动点从数点 a 移到 b 要经过点 (a+b)/2 ，所以 b 不是 a 的邻点，因实数 a 是任取的，所以任何实数的邻点都不存在。
证毕。
定义3 无理数连通域 若某二个无理数 w1 与 w2 为界的区间 [w1,w2] 中的数全为无理数，则称该区间为一个无理数连通域，可用该区间上的任一有理数 w 指称该无理数连通域为无理数 w 的连通域；当 w1 = w = w2 时，称所界定的无理数连通域中只有 w 这一个无理数。
定义3 是有各种适应性的，如果无理数 w 有与其它无理数连通，那么有 w1 ≠ w2 的情况存在，如果无理数 w 与任何其它无理数都不存在连通关系，那么就有 w1 = w = w2 的情况存在，并连通域仅存在于该最小的区间 [w,w] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定，定义中并未作限制。
推论2 无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在，即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内，也即无理数 w 与其它无理数不存在连通关系。
证明：
设无理数连通域 [w1，w2] 在 w1 ≠ w2 的情况下存在，那么 w1 与 w2 间就不再有有理数了，这将抵触
“引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。”
只有当无理数连通域 [w1，w2] 在 w1 = w = w2 的情况下，才不再抵触引理2，所以无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在，即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内，也即无理数 w 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论3 邻点存在。
证明：
无理数 w 与其它无理数不存在连通关系，根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
无理数 w 即然不与其它无理数连通，那么它只有先与有理数连通，一个单个的无理数先与有理数连通，显然它的邻点为有理数。
同理可证有理数的邻点为无理数[**]。
所以任何实数的邻点都存在。
证毕。
推论1 与推论3 是等权重的，你可用推论1 来否定推论3 ，也可用推论3 来否定推论1 ，这就使标准分析的实数系统对邻点问题产生了矛盾，根据论证的原则：
在一个公设系统，若一个命题可由某证明路径证明其为真，但可由另一个证明路径证明其非真，则该命题已超越了该公设系统适用范围。
这就说明了邻点问题已超越了标准分析的实数系统的适用范围。
要分析邻点问题，我们必须要建立一个对邻点问题不会产生矛盾的新的实数系统。
[*] 前段时间对实数方面的争论是指：
在网易社区http://knl.gz.163.com/自然科学版老版区的：
[+20] 喜欢有理数的数学幽灵 bsese 10.07 08:42
[+4] 有理数逼近无理数定理如何证明 bsese 10.27 07:41
[+5] 有理数多还是无理数多? BK 11.02 16:26
[+5] 哪位大侠能找到一无理数α bsese 11.08 12:42
[+7] 异调兄请进：关于无理数到底应选哪一个 bsese 11.13 12:40
[+18] 关于实数构造问题 bsese 11.28 13:46
[+4] 包兄请进，实数问题重开一栏 eigolomoh 12.06 19:09
[+6] 关于包学行的实数理论 dropsun 12.09 16:52
以及自然科学版新版式区的:
[+6] 拜托,有谁来证明一下.(芝若悖论) chair_teng 12-25 15:07
等论题。
[**]同理可证有理数的邻点为无理数：
定义4 有理数连通域 若某二个有理数 y1 与 y2 为界的区间 [y1,y2] 中的数全为有理数，则称该区间为一个有理数连通域，可用该区间上的任一有理数 y 指称该有理数连通域为有理数 y 的连通域；当 y1 = y = y2 时，称所界定的连通域中只有 y 这一个有理数。
定义4 是有各种适应性的，如果有理数 y 有与其它有理数连通，那么有 y1 ≠ y2 的情况存在，如果有理数 y 与任何其它有理数都不存在连通关系，那么就有 y1 = y = y2 的情况存在，并连通域仅存在于该最小的区间 [y,y] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定的，定义中并未作限制。
推论2 有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在，即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内，也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证明：
设有理数连通域 [y1，y2] 在 y1 ≠ y2 的情况下存在，那么 y1 与 y2 间就不再有有理数了，这将抵触
“引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。”
只有当有理数连通域 [y1，y2] 在 y1 = y = y2 的情况下，才不再抵触引理2，所以有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在，即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内，也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论4 有理数的邻点为无理数。
证明：
有理数 y 与其它有理数不存在连通关系，根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
有理数 y 即然不与其它有理数连通，那么它只有先与有理数连通，一个单个的有理数先与无理数连通，显然它的邻点为无理数。
证毕。
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包学行( [email protected] )
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M 作 者: yanghx22(再生豆) 2000-12-29 19:35:13
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我觉得“引理1”是对的，“引理3”有问题。
“引理1”说明了事物的无限可分性、探索无止境。
用“引理1”可以证明“引理3”是错误的：
证明：
设任取的有理数 a 邻点存在，并设邻点为无理数 b ，则根据 引理5 有
a < (a+b)/2 < b ，或 b < (a+b)/2 < a ，
一个动点从数点 a 移到 b 要经过点 (a+b)/2 ，所以 b 不是 a 的邻点，
因有理数a 是任取的，所以任何有理数的邻点都不存在。
证毕。
而“引理3”恐怕还不能用来否定“推论1”，
因为“完备的实数集”并不一定是有限的，
无限的实数集就不一定存在“连通”的问题，
所以“引理3”中的“连通”二子没有经过证明就混入使用了？
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M 作 者: bsese(b77 行) 2000-12-30 09:06:17
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【 在 yxiaolei 的大作中提到：】
: 我觉得“引理1”是对的，“引理3”有问题。
: “引理1”说明了事物的无限可分性、探索无止境。
: 用“引理1”可以证明“引理3”是错误的：
: 证明：
: 设任取的有理数 a 邻点存在，并设邻点为无理数 b ，则根据 引理5 有
: a < (a+b)/2 < b ，或 b < (a+b)/2 < a ，
: 一个动点从数点 a 移到 b 要经过点 (a+b)/2 ，所以 b 不是 a 的邻点，
: 因有理数a 是任取的，所以任何有理数的邻点都不存在。
: 证毕。
引理1与引理3在不涉及邻点问题时并不会产生矛盾的，只有在涉及邻点问题时才会发生矛盾，所以邻点问题已超越了目前的标准分析的实数系统的适用范围。
要分析邻点问题，必须建立一个对邻点问题不会存在矛盾的新的实数系统。
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包学行( [email protected] )
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M 作 者: yanghx22(再生豆) 2000-12-30 13:48:11
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【 在 bsese 的大作中提到：】
:【 在 yxiaolei 的大作中提到：】
:: 我觉得“引理1”是对的，“引理3”有问题。
:: “引理1”说明了事物的无限可分性、探索无止境。
:: 用“引理1”可以证明“引理3”是错误的：
:: 证明：
:
:......
新的实数系统？关键是实数集是否为“有限集”？
如果是有限集，则引理3是对的，引理1是错的，
反之则反，这恐怕要先明确一下？好象没有共存的道理？
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M 作 者: ryn(时清) 2000-12-30 14:58:51
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【 在 bsese 的大作中提到：】
: 关于存在其它实数系统的论证
:
: 包学行
: [email protected]
:
:
:......
什么叫“无理数 w 即然不与其它无理数连通，那么它只有先与有理数
连通？”，包兄，如果我没记错，你只定义过“无理数连通”、“有理数连
通”，什么时候出来个无理数和有理数连通？请先定义“无理数和
有理数的连通”，并用引理（除了引理最好不要再引用新名词，求你啦）
证明实数集中存在“无理数和有理数的连通”，不然的话，你的推论3要改
成
“无理数即然不与其它无理数连通，那么它只有不连通，显然它没有邻点”
顺便提一下，真诚希望你不要根据“不连通”三个字去想象实数的排列关系，
特别是梳齿什么的。
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M 作 者: bsese(b77 行) 2000-12-31 11:21:36
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【 在 ryn(时清) 的大作中提到：】
: 什么叫“无理数 w 即然不与其它无理数连通，那么它只有先与有理数
: 连通？”，包兄，如果我没记错，你只定义过“无理数连通”、“有理数连
: 通”，什么时候出来个无理数和有理数连通？请先定义“无理数和
: 有理数的连通”，并用引理（除了引理最好不要再引用新名词，求你啦）
: 证明实数集中存在“无理数和有理数的连通”，不然的话，你的推论3要改
: 成
: “无理数即然不与其它无理数连通，那么它只有不连通，显然它没有邻点”
我定义“无理数连通”、“有理数连通”并证明了:
任一无理数与与其它无理数都不连通。
任一有理数与与其它有理数都不连通。
如果实数仅由无理数构成，那么可得出你说的
“无理数即然不与其它无理数连通，那么它只有不连通，显然它没有邻点”
但实数不是仅由无理数构成的，实数是由有理数与无理数二者构成一个完备的实数集的。
请问一个单个的与其它无理数都不连通的无理数，就是不可能有其它无理数与其相邻，由于实数的完备性，就不存在既不是有理数又不是无理数的点，因此一个单个的无理数相邻的必定是有理数点。
一个本可由实数完备性说明的问题，为什么么确要我先要定义实数的连通呢？
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包学行( [email protected] )
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M 作 者: yanghx22(再生豆) 2000-12-31 23:58:38
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【 在 bsese 的大作中提到：】
:【 在 ryn(时清) 的大作中提到：】
:: 什么叫“无理数 w 即然不与其它无理数连通，那么它只有先与有理数
:: 连通？”，包兄，如果我没记错，你只定义过“无理数连通”、“有理数连
:: 通”，什么时候出来个无理数和有理数连通？请先定义“无理数和
:: 有理数的连通”，并用引理（除了引理最好不要再引用新名词，求你啦）
:
:......
问题是“临点”好象还没有确切定义？如果定义a的临点为：
lim[(a+b)/2] （当b->a时），则a的临点就是a自己，
这显然是荒谬的，所以任意实数不存在这样定义的临点，
可是还有什么其它定义的方法呢？
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M 作 者: bsese(b77 行) 2001-01-01 10:24:00
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【 在 yanghx22（再生豆） 的大作中提到：】
: 问题是“临点”好象还没有确切定义？如果定义a的临点为：
: lim[(a+b)/2] （当b->a时），则a的临点就是a自己，
: 这显然是荒谬的，所以任意实数不存在这样定义的临点，
: 可是还有什么其它定义的方法呢？
你上述的“临点”是否“邻点”的笔误，若是指邻点，那么我在定义2中已明确定义了：
定义2 邻点 一个数点紧相邻的数点称为邻点，一个动点从一个数点移到其邻点不经过其它数点。
并用二种不同的证明路径分别证明：
推论1 邻点不存在。
推论3 邻点存在。
两种矛盾的推论，说明了邻点问题已超越了标准分析实数系统的适用范围。
要分析邻点问题需要建立新的对邻点问题不存在矛盾的新实数系统才能解决。
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包学行( [email protected] )
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作 者: ryn(时清) 2001-01-01 12:21:26
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【bsese的大作中提到：】
: 我定义“无理数连通”、“有理数连通”并证明了:
: 任一无理数与与其它无理数都不连通。
: 任一有理数与与其它有理数都不连通。
: 如果实数仅由无理数构成，那么可得出你说的
:“无理数即然不与其它无理数连通，那么它只有不连通，显然它没有邻点”
: 但实数不是仅由无理数构成的，实数是由有理数与无理数二者构成一个完备的:实数集的。
: 请问一个单个的与其它无理数都不连通的无理数，就是不可能有其它无理数与:其相邻，由于实数的完备性，就不存在既不是有理数又不是无理数的点，因此一:个单个的无理数相邻的必定是有理数点。
: 一个本可由实数完备性说明的问题，为什么么确要我先要定义实数的连通呢？
" 一个本可由实数完备性说明的问题，为什么要我先要定义实数的连通呢？"
这句反问还真是幽默耶，时清一时张口结舌不知如何是好，我当然不知道包兄
为什么要定义实数的连通，只有你才知道啦。包兄的推论3跳出“无理数只有
与有理数连通”这样的描述，谁定义谁解释，时清很自然提出这个要求，等包
兄讲清楚这个连通再打棍子，虽然用心阴毒了一点点，但算是很合法的要求罢？
时清在耐心等包兄说出“无理数和有理数的连通：当某个有理数和某个无
理数之间没有任何实数”时马上痛打，没想到包兄会来这么一下，煮熟的鸭子就这
么飞了......
“相邻的点”包兄自已都知道找不出来，转眼间“由于实数的完备性...因此一个
单个的无理数相邻的必定是有理数点”这句话倒讲得理直气壮，想问包兄在证明推论
3（关于邻点存在与否）之前，提到的“相邻”是什么意思？是不是邻点？
实数的完备性跟“无理数的相邻点”有什么推导关系？（请不要反问时清“为什
么要我定义实数的相邻”，在精神上承受多次重复打击很辛苦的。）包兄是不是
认为： “ 由于实数的完备性，所以任意实数都有邻点” 而且这是显而易见的数
学公理或数学定理？
早知道是这样，建议包兄这样证明：
1.包氏邻点定义（略）
2.根据实数的引理，实数没有邻点，( 任意实数a,b间都有a+b/2 这样的实数）
3.又因为实数是完备的，所以实数都有邻点，(包氏实数公理，实数基本性质，无须论证）
4.因此完备的实数没有引理，或有引理的实数不完备，证毕。
如此论证简单快捷，包兄省了许多定义，别人找碴子也方便得多，但那人不会是时
清吧...当看到包兄上面理所当然地讲完“完备性可以说明的问题”一段，时清的脑袋
理所当然地开始发晕，眼前出现无数由实数的邻点构成的星星
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M 作 者: bsese(b77 行) 2001-01-02 13:12:33
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【 在 ryn(时清) 的大作中提到：】
: 早知道是这样，建议包兄这样证明：
: 1.包氏邻点定义（略）
: 2.根据实数的引理，实数没有邻点，( 任意实数a,b间都有a+b/2 这样的实数）
: 3.又因为实数是完备的，所以实数都有邻点，(包氏实数公理，实数基本性质，无须论证）
: 4.因此完备的实数没有引理，或有引理的实数不完备，证毕。
我的证明都是从 5 条引理出发证明的，何须引入包氏实数公理？
既然你要你所要形式的证明，我也是可以给出证明的（无须引入包氏实数公理）：
1.邻点定义（见上述的定义2）。
2.根据实数的引理5，实数没有邻点，( 任意实数a,b间都有a+b/2 这样的实数）。
3.又因为实数是完备的，所以实数都有邻点。
证明：
3.1. 由“引理3 实数的完备性。”则实数在数轴上连续。
3.2. 任一无理数 w 与其它无理数不存在连通关系（证明见上述推论2）。
3.3. 由 3.1. 与 3.2. 我们总可以找到无理数 w 的一个不包含其它无理数的，
但却包含有其它实数的邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] ,其中 y1 < w < y2 ，y1、
y2 都为有理数。
3.4. 由 3.3. 与“引理3 实数的完备性。”则邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] 中除 w
外其余都是有理数，那么这个邻域可由区间 [y1,y2] 表达。
3.5. 并区间 [y1,y2] 以 w 为界左右分别各有一个有理数连通域，即 [y1,w) 与
(w,y2]。
3.6. 有理数连通域 [y1,w) 中至少含有有理数 y1；有理数连通域 (w,y2] 中至
少含有有理数 y2。
3.7. 设有理数连通域 [y1,w) 中除有理数 y1 外还有其它有理数，至少还有有
理数 y12，则 y1 与 y12 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两个
有理数间都有无限多个无理数。”所以 [y1,w) 中只有 y1 这一个有理数，
即 [y1,w) = [y1,y1] ，也即无理数 w 的邻点为有理数 y1 。
3.8. 设有理数连通域 （w,y2] 中除有理数 y2 外还有其它有理数，至少还有
有理数 y22，则 y2 与 y22 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两
个有理数间都有无限多个无理数。”所以 (w,y2] 中只有 y2 这一个有理数，
即 (w,y2] = [y2,y2] ，也即无理数 w 的另一个邻点为有理数 y2。
4.因 2. 与 3. 证明的路径不同得到了关于邻点的相反的结论，所以邻点问题已超越
了标准分析实数系统的适用范围，要分析邻点问题必须建立对邻点问题不存在矛
盾的新的实数系统。
证毕。
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作 者: ryn(时清) 2001-01-03 00:57:27
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【 在 bsese 的大作中提到：】
: 既然你要你所要形式的证明，我也是可以给出证明的（无须引入包氏实数公理）：
:1.邻点定义（见上述的定义2）。
:2.根据实数的引理5，实数没有邻点，( 任意实数a,b间都有a+b/2 这样的实数）。
:3.又因为实数是完备的，所以实数都有邻点。
: 证明：
: 3.1. 由“引理3 实数的完备性。”则实数在数轴上连续。
: 3.2. 任一无理数 w 与其它无理数不存在连通关系（证明见上述推论2）。
: 3.3. 由 3.1. 与 3.2. 我们总可以找到无理数 w 的一个不包含其它无理数的，
: 但却包含有其它实数的邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] ,其中 y1 < w < y2 ，y1、
:y2 都为有理数。
包兄不须再证明了。 “ y1<w<y2 y1,y2都是有理数，其只有w一个无理数”
这个结果已经跟引理1“任意两个有理数间有无数个无理数”相悖。
恕我冒昧，3.1和3.2怎么会推出3.3实在看不出来。如果还要死撑，我请
你算一个特例，根据3.1和3.2推出与π这个无理数相关的y1和y2表达式，令y1和
y2可以满足3.3的描述，不要告诉我计算一个特例比推导普适性的公式或结论
还难得多。
关于连续性，建议包兄翻翻微积分基础中极限和连续性的部分认真理解，也
许你已经通读过这类书籍，但是从上个月对实数的讨论的贴子来看，个人认为
包兄对无限可分的数、无穷小的概念需要打打基础。
“ 我的证明都是从 5 条引理出发证明的，何须引入包氏实数公理？ ”
如果上面这句话不是开玩笑，时清认为包兄对自已的论证过程的严密性
认识不足，是真不懂呢还是装懂？数学推论证明不是周星驰打官司，从
基本公理和定理出发，每一个定义都必须由基本概念或已经作出的结论证明，
不得循环论证，包兄居然认定自已的证明没有新造词，全部由引理出发证明...
只好请你认真读一下你前面的回贴，时清无话可说。
基本概念的证明方法，建议包兄看看初等数论一类的书籍，有大量基本
概念和定理的推导过程，注意它们的严格性。
看完包兄的这个贴子，时清不会在这个话题继续讨论下去，自感水平
不够，多说无益，高手看来，止增笑耳。
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M 作 者: bsese(b77 行) 2001-01-03 13:20:55
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【 在 ryn(时清) 的大作中提到：】
: 【 在 bsese 的大作中提到：】
: : 既然你要你所要形式的证明，我也是可以给出证明的（无须引入包氏实数公理）：
: :1.邻点定义（见上述的定义2）。
: :2.根据实数的引理5，实数没有邻点，( 任意实数a,b间都有a+b/2 这样的实数）。
: :3.又因为实数是完备的，所以实数都有邻点。
: : 证明：
: : 3.1. 由“引理3 实数的完备性。”则实数在数轴上连续。
: : 3.2. 任一无理数 w 与其它无理数不存在连通关系（证明见上述推论2）。
: : 3.3. 由 3.1. 与 3.2. 我们总可以找到无理数 w 的一个不包含其它无理数的，
: : 但却包含有其它实数的邻域 (y1,y2) 或 [y1,y2] ,其中 y1 < w < y2 ，y1、
: :y2 都为有理数。
: 包兄不须再证明了。 “ y1<w<y2 y1,y2都是有理数，其只有w一个无理数”
: 这个结果已经跟引理1“任意两个有理数间有无数个无理数”相悖。
时清兄，请你搞清楚，我是证明标准分析的实数系统在某些情况下的矛盾，这种矛盾
是从二个不同的证明路径得出的结论相反产生的。
你没有指出我所证明的路上的错误，而是从另一个路径证明出与 3.3 的矛盾，这不
是帮我又找到一个证明标准分析实数系统在某些情况下存在矛盾的论证吗？
: 恕我冒昧，3.1和3.2怎么会推出3.3实在看不出来。如果还要死撑，我请
: 你算一个特例，根据3.1和3.2推出与π这个无理数相关的y1和y2表达式，令y1和
: y2可以满足3.3的描述，不要告诉我计算一个特例比推导普适性的公式或结论
: 还难得多。
我不会说证明一个特例有困难。
对于π，设y1 = p ，y2 = q 。
推论6 圆周率 π 的邻点 p 与 q 存在。
证明：
6.1. 由“引理3 实数的完备性。”则实数在数轴上连续。
6.2. 任一无理数 w 与其它无理数不存在连通关系（证明见上述推论2），圆周率 π 是无理数，那么无理数 π 与其它无理数也不存在连通关系。
6.3. 由 6.1. 与 6.2. 我们总可以找到无理数 π 的一个不包含其它无理数的，
但却包含有其它实数的邻域 (p ,q ) 或 [p ,q] ,其中 p < π < q，
p 、q 都为有理数。
6.4. 由 3.3. 与“引理3 实数的完备性。”则邻域 (p ,q) 或 [p ,q] 中除
π 外其余都是有理数，那么这个邻域可由区间 [p ,q ] 表达。
6.5. 并区间 [p ,q] 以 π 为界左右分别各有一个有理数连通域，即 [p ,π)
与 (π,q]。
6.6. 有理数连通域 [p ,π) 中至少含有有理数 p ；有理数连通域 (π,q ] 中
至少含有有理数 q 。
6.7. 设有理数连通域 [p ,π) 中除有理数 p 外还有其它有理数，至少还有有
理数 p2，则 p 与 p2 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两个
有理数间都有无限多个无理数。”所以 [p ,π) 中只有 p 这一个有理数，
即 [p,π) = [p,p] ，也即无理数 π 的邻点为有理数 p 。
6.8. 设有理数连通域 （π,q] 中除有理数 q 外还有其它有理数，至少还有
有理数 q2，则 q 与 q2 间就不再有无理数，这将抵触“引理1 任何两
个有理数间都有无限多个无理数。”所以 (π,q] 中只有 q 这一个有理数，
即 (π,q] = [q,q] ，也即无理数 π 的另一个邻点为有理数 q 。
证毕。
这推论6 与推论1 相矛盾，所以邻点问题已超出了标准分析的实数系统的适用范围，
要分析邻点问题必须建立对邻点问题不存在矛盾的新的实数系统。
: 关于连续性，建议包兄翻翻微积分基础中极限和连续性的部分认真理解，也
: 许你已经通读过这类书籍，但是从上个月对实数的讨论的贴子来看，个人认为
: 包兄对无限可分的数、无穷小的概念需要打打基础。
希望时清兄不要用这种扣帽子的方法去讨论问题，论证的哪个地方有问题请一针见血
地指出来，这才是再有力的论证。
: “ 我的证明都是从 5 条引理出发证明的，何须引入包氏实数公理？ ”
: 如果上面这句话不是开玩笑，时清认为包兄对自已的论证过程的严密性
: 认识不足，是真不懂呢还是装懂？
请指出论证不严的地方，你这种不指出我的论证不严密之处的做法本身
就是一种不严密的论证。
: 数学推论证明不是周星驰打官司，从
: 基本公理和定理出发，每一个定义都必须由基本概念或已经作出的结论证明，
: 不得循环论证，包兄居然认定自已的证明没有新造词，全部由引理出发证明...
请指出我的哪个新名词未定义，哪一个问题未予证明。
: 只好请你认真读一下你前面的回贴，时清无话可说。
: 基本概念的证明方法，建议包兄看看初等数论一类的书籍，有大量基本
: 概念和定理的推导过程，注意它们的严格性。
请指出我谁的哪个地方抵触了初等数论的基本概念。
: 看完包兄的这个贴子，时清不会在这个话题继续讨论下去，自感水平
: 不够，多说无益，高手看来，止增笑耳。
不过我还是希望你有不同的意见应予发表为好。
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包学行( [email protected] )
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M 作 者: ryn(时清) 2001-01-03 18:05:46
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包兄，时清的话有点难听，但希望你听得进去而已。
技术问题你似乎不能理解，可能是时清的表达能力不足。比如
要你推出无理数的特例，我给出π你连实际数值都求不出来，还有
什么好谈？不是时清不肯一针见血指出什么地方有错误，而是指出
了你也不知道;简单的几句推论请包兄自已看，是因为根据前面的
讨论，仿佛鸡同鸭讲，所以多讲无益。
我认为你不知道连续性的真正含义，但我不愿再指出你的错误，
原因同上。
请你看那些书，是请你看看数学证明的严格性，我没有能力也
没有耐心去研究数论、线性代数和包兄那个相邻邻点的实际关系。
扣帽子那种事情，仿佛是政治吵架恶意中伤一样，不太好吧...
不过假如这个词可以有正面的理解的话，时清倒真是很想给包兄扣
一顶上去，管它是什么帽子，因为发现自已前面讲了那么多都是
空话，一想起某位大哥早早开溜在看笑话，心里真是鳖死了，呜。
这个话题技术问题我不想，也不会再提，只是提一下后果吧。
从数学推论推出与它本身相悖的结论，则此推论不能成立。也就是
说实数的引理要敲掉一条，这不是构造一个新实数系统的问题，而
是整个实数系统的定义会崩溃，要重新定义原来的实数系统，提出
并成功的人可以上升到伟大如爱因斯坦的高度，比非欧几何要伟大
得多（人家是敲掉一个公理构造一个新体系，但不能证明原有体系
的矛盾）。请包兄考虑这个辉煌的可怕后果，唯一的问题是，象你
这种自以为严密的论证过程，绝对过不了正规科学机构的审核。
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M 作 者: eigolomoh(异调) 2001-01-03 20:21:48
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好啦，这都成跨世纪的大题目了。我更难听的话都说过，老包还不是听
不进去。别说一针见血了，简直就是一锥子咕嘟咕嘟的血窟窿，不愿听
有什么办法。明明推翻了现在的实数理论，却还谦虚地说只是想发展另
一套理论，这一点老包比成天嚷嚷推翻了相对论的要强得太多。所以大
家就都别争了，以前我还看看笑话，现在连笑话也有点懒得看了。
【 在 ryn 的大作中提到：】
:
: 包兄，时清的话有点难听，但希望你听得进去而已。
: 技术问题你似乎不能理解，可能是时清的表达能力不足。比如
:要你推出无理数的特例，我给出π你连实际数值都求不出来，还有
:什么好谈？不是时清不肯一针见血指出什么地方有错误，而是指出
:
:......
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M 作 者: bsese(b77 行) 2001-01-04 20:03:27
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【 在 ryn 的大作中提到：】
: 包兄，时清的话有点难听，但希望你听得进去而已。
我不是一个听不进别人意见的人，我之所以能不断地从不同的
证明方法论证关于标准分析实数系统对邻点总是存在矛盾，就是吸
取了网上许多网友们的不同意见后作出的，其中也包括吸取了你及
异调兄等人的不同意见。
: 技术问题你似乎不能理解，可能是时清的表达能力不足。比如
:要你推出无理数的特例，我给出π你连实际数值都求不出来，还有
:什么好谈？
π 的存在不是要求出它的值，才能证明它存在的，世界上有谁能
真正求出了 π 的真正值呢？但 π 却真正存在。对 π 的邻点也一样，
不一定要求出其值才能证明它的存在，只要通过证明方法就可证明它
的存在与否。
如果通过二个不同的证明路径，标准分析的实数系统对 π 的邻点
得出不同的结论，那么就能说明邻点问题已超越了标准分析的实数系
统的适用范围。
:不是时清不肯一针见血指出什么地方有错误，而是指出
:了你也不知道;简单的几句推论请包兄自已看，是因为根据前面的
:讨论，仿佛鸡同鸭讲，所以多讲无益。
时清兄，你不肯一针见血指出什么地方有错误，是怕我看不懂，
那你就大可不必了，我看不懂，可让广大网友们看看，你的论证总不
至于不能给大家看吧？
: 我认为你不知道连续性的真正含义，但我不愿再指出你的错误，
:原因同上。
时清兄，我论证的那处有抵触连续性的真正含义的请指明。
: 请你看那些书，是请你看看数学证明的严格性，我没有能力也
:没有耐心去研究数论、线性代数和包兄那个相邻邻点的实际关系。
时清兄，我看你还得化点时间搞清那个相邻邻点的实际关系，再
去评论这个问题才有严密性吗。
: 扣帽子那种事情，仿佛是政治吵架恶意中伤一样，不太好吧...
:不过假如这个词可以有正面的理解的话，时清倒真是很想给包兄扣
:一顶上去，管它是什么帽子，因为发现自已前面讲了那么多都是
:空话，一想起某位大哥早早开溜在看笑话，心里真是鳖死了，呜。
时清兄，难道你认为扣帽子也是一种严密的论证方法吗？
: 这个话题技术问题我不想，也不会再提，只是提一下后果吧。
:从数学推论推出与它本身相悖的结论，则此推论不能成立。
在一个系统对某命题A可推得：
1. A成立。（从证明路径 1 可得。）
2. A不能成立。（从证明路径 2 可得。）
如果就认为2. 是对的，即A不能成立。这是把二个有同样权重的证
明偏重了其中的一个，这当然是不公正的。
因此只能说这个系统对命题A无法判断，即命题A已超越了该系
统的适用范围。
:也就是说实数的引理要敲掉一条，这不是构造一个新实数系统的问
:题，而是整个实数系统的定义会崩溃，
标准分析实数系统对“邻点问题”产生的矛盾，不是用敲掉一条
引理可解决的，而是从排除引理矛盾出发，一直追踪到最初的公设，
修正其中的一条或几条公设来建立一个新的实数系统才能解决。
至于标准分析实数系统会不会崩溃，要看你这样确定其适用范围
了，如果认定只有一种统一的实数系统，那么真要崩溃了。
如果真正明确了标准分析实数系统的适用范围，那么在其一直都
可正确处理的实数问题仍可继续有效地运用。
例如，对欧氏几何如果认定只有一种几何，那么欧氏几何在非欧
空间问题的冲击下，作为一个完整的几何理论，当然它会崩溃。只有
认定了其适用范围平直空间，那么在其原适用空间中仍可继续有效地
运用。
:要重新定义原来的实数系统，提出
:并成功的人可以上升到伟大如爱因斯坦的高度，比非欧几何要伟大
:得多（人家是敲掉一个公理构造一个新体系，但不能证明原有体系
:的矛盾）。请包兄考虑这个辉煌的可怕后果，唯一的问题是，象你
:这种自以为严密的论证过程，绝对过不了正规科学机构的审核。
一、我没有把我的论证提交正规科学机构的审核，你何愁通过还
是通不过的问题呢？
二、我也没有称我能建立一个新的实数系统，为什么要“考虑这
个辉煌的可怕后果”呢？
三、网上的高手很多，如果有那位高手在网上讨论的启发下能建
立一个新的实数系统，那也有什么不好呢？
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包学行( [email protected] )
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