发信人: eigolomoh(异调)
整理人: eigolomoh(2001-07-13 18:31:59), 站内信件
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-07 08:42:11
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标 题: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sat Oct 7 08:42:11 2000), 站内信件
喜欢有理数的数学幽灵
有一个喜欢在数轴有理数点上定居的数学幽灵，如果我们调皮地
把她移到任一无理数点上，她就会向右移动，直到找到第一个有理数
点然后定居下来，请问她能找到定居点吗？
--
包学行( [email protected] )
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作 者: foolbear111@GZ() 2000-10-07 09:33:16
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sat Oct 7 09:33:16 2000), 站内信件
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 喜欢有理数的数学幽灵
:
: 有一个喜欢在数轴有理数点上定居的数学幽灵，如果我们调皮地
: 把她移到任一无理数点上，她就会向右移动，直到找到第一个有理数
: .......
不能，因为任意一个无理数与其他任意数之间都有无穷多个数
--
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-07 10:19:49
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sat Oct 7 10:19:49 2000), 站内信件
【 在 foolbear111 (foolbear) 的大作中提到: 】
: 不能，因为任意一个无理数与其他任意数之间都有无穷多个数
如果速度对喜欢有理数的数学幽灵来说是无限的，她能找到
她的定居点吗？
--
包学行( [email protected] )
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作 者: yyy369@GZ() 2000-10-08 12:26:59
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 12:26:59 2000), 站内信件
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 喜欢有理数的数学幽灵
:
: 有一个喜欢在数轴有理数点上定居的数学幽灵，如果我们调皮地
: 把她移到任一无理数点上，她就会向右移动，直到找到第一个有理数
: .......
我不太清楚包兄说的“向右”移动是什么意思，横轴是实轴，纵轴是虚轴，
向右平移是不会遇到实数的。但如果向实轴移动，这就涉及一个其移动的步长
是否为无穷小，如果不是则可以最终定居。
--
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-08 12:38:57
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 12:38:57 2000), 站内信件
: 【 在 alha () 的大作中提到: 】
: 除非他的速度是个无理数?
速度在本题中不作任何条件限制，速度值不管是有理数还是无理
数，只要需要尽管选取。
如果判断速度对喜欢有理数的数学幽灵来说是无限的，请问处于
无理数点上的喜欢有理数的数学幽灵能右移找到第一个有理数点作为
她的定居点吗？
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-08 13:01:53
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 13:01:53 2000), 站内信件
【 在 yyy369 () 的大作中提到: 】
: 我不太清楚包兄说的“向右”移动是什么意思，横轴是实轴，纵轴是虚轴，
: 向右平移是不会遇到实数的。但如果向实轴移动，这就涉及一个其移动的步长
: 是否为无穷小，如果不是则可以最终定居。
: .......
我说的问题是在数轴上，一维的，不是在复平面上。
因为有理数是一个有序的序列，设喜欢有理数的数学幽灵位
于无理数点 w 处，则大于是 w 的有理数也是一个有序的序列，
它们全部位于无理数点 w 的右边，现喜欢有理数的数学幽灵向右
移动，她首先遇到的一个有理数就是她的定居点，请问她能找到
定居点吗？
--
包学行( [email protected] )
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作 者: swd007@GZ() 2000-10-08 14:25:30
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 14:25:30 2000), 站内信件
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
...
不存在大于w的最小有理数
--
来，一起做名战士吧！但是，你要做好牺牲的准备！
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M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-10-08 16:45:01
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 16:45:01 2000), 站内信件
foolbear和softy都回答得很正确。问题就在于不存在
这么个“喜欢有理数的数学幽灵”。任取一个无理数，
那么所谓的“在它右边的第一个有理数”是不存在的。
定义这样的数学幽灵，有点象定义“最大的自然数”，
“就是自然数序列中最右边的那个数”。
每次提出一个定义的时候，第一件事情就是要验证一
下被定义的东西是否存在。要是定义一个实际上不存
在的东西，比如这里的数学幽灵，或者正一百面体，
你就什么奇怪的结论都推得出来。
【 在 swd007 (softy) 的大作中提到: 】
: 【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: ...
:
: 不存在大于w的最小有理数
: .......
--
我不能看得比其他人远，因为巨人站在我的肩膀上。
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-08 17:44:48
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 17:44:48 2000), 站内信件
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: foolbear和softy都回答得很正确。问题就在于不存在
: 这么个“喜欢有理数的数学幽灵”。任取一个无理数，
: 那么所谓的“在它右边的第一个有理数”是不存在的。
: 定义这样的数学幽灵，有点象定义“最大的自然数”，
: .......
因最看一本书牵涉到一个类同的问题，因此在此提出，
谢谢异调与foolbear和softy诸兄的答复。
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作 者: yangjia1229@GZ() 2000-10-08 18:43:34
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 18:43:34 2000), 站内信件
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 喜欢有理数的数学幽灵
:
: 有一个喜欢在数轴有理数点上定居的数学幽灵，如果我们调皮地
: 把她移到任一无理数点上，她就会向右移动，直到找到第一个有理数
: .......
我不能，我的资源有限
你能找出那一点吗？
--
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-08 22:34:32
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Sun Oct 8 22:34:32 2000), 站内信件
【 在 yangjia1229 (john) 的大作中提到: 】
: 我不能，我的资源有限 你能找出那一点吗？
我也不能找出那一点，因最近看一本书牵涉到一个类同的问题，
因此在此提出与大家讨论。
--
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作 者: yyy369@GZ() 2000-10-09 08:18:48
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Mon Oct 9 08:18:48 2000), 站内信件
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: 喜欢有理数的数学幽灵
:
: 有一个喜欢在数轴有理数点上定居的数学幽灵，如果我们调皮地
: 把她移到任一无理数点上，她就会向右移动，直到找到第一个有理数
: .......
对包兄不起。我把有理和无理当成实数和虚数了。下面发表我的观点。
因为有理数的间隔是无穷小，而在两个间隔无穷小的有理数之间有无穷
多个无理数，无理数的间隔是高阶无穷小。
所以它回定居的。
--
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-09 20:18:21
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Mon Oct 9 20:18:21 2000), 站内信件
【 在 yyy369 () 的大作中提到: 】
: 因为有理数的间隔是无穷小，而在两个间隔无穷小的有理数之间有
: 无穷多个无理数，无理数的间隔是高阶无穷小。所以它回定居的。
我觉得对这个问题找不到最终的答案。
根据目前理论任一数右边不存在第一个有理数，也就是说她找不
到她的定居点。
但从另一个角度讲，无理数右边有一个有理数的序列，一个点从
该无理数点起向右移总会遇到有理数的，因是一个有序的序列，同一
时刻最多只能遇到一个有理数，肯定会有最早遇到的第一个有理数。
--
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-09 20:36:08
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Mon Oct 9 20:36:08 2000), 站内信件
【 在 alha () 的大作中提到: 】
: 呵呵,我得先申明一下,我的数学忘得差不多了,千万别一砖将俺拍死.
: 靠他最近的有理数对他而言,就象极限一样,无限接近,就象永远追不上
: 龟的兔子? 但这就不是匀速运动了.
: 但如果他通过一确定的距离(有理数)停了下来,这一点岂不是还是无理
: 数? 所以我觉得他要通过一个无限的距离才能达到最近的有理数.
: 那就不停的运动了?
本题对速度不作任何限制，移动速度可是实数值。
--
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M 作 者: eigolomoh@GZ() 2000-10-10 10:46:10
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Tue Oct 10 10:46:10 2000), 站内信件
这个问题没有那么神秘，它的最终答案我已经说过了，就是不存在这
么个数学幽灵，或者说“任一数右边不存在第一个有理数，也就是说
她找不到她的定居点。”
“无理数右边有一个有理数的序列，一个点从该无理数点起向右移总
会遇到有理数的”这句话里有个隐含的错误，虽然如果仅仅说这句话，
这个错误不太要紧，但是和下面的推理联系起来，就成了致命的错误。
所有有理数是可以排成一个序列的（换句话说，可以把所有的有理数
和所有的自然数一一对应，于是从公理集合论的意义上来说，有理数
和自然数一样多）。但是应该注意到的是，不存在这么一个序列，其
中包含了所有某一长度非零的区间中的有理数，*而且*这个序列是从
小到大排列的。
事实上，当一个点向右移动时，无论它移动的距离有多小，只要这个
距离不是零，它总会一下子遇到无穷多个有理数，所以在这里你是没
有办法谈论所谓的“最早遇到的第一个有理数”的。
在数学中，尤其是高等数学中，有许多概念是不能够用普通的在有限
的世界中得来的经验来推断的（但是在理解了这个奇妙的数学世界以
后，你还是会形成某些经验和直觉的，不过这是要靠一定的努力才能
达到的。前些天我看见有网友抱怨高等数学难学，很大程度上是因为
从初等数学迈进到高等数学时，发现突然进入了一个和以前经验不相
容的世界所致。）比如在数学分析还没有经过柯西和魏尔斯特拉斯严
格化以前，大家根据直觉都认为无论什么连续函数都应该是几乎处处
可导的（就是说除了很少一些点外，在数轴的其它点上都是可导的），
可是魏尔斯特拉斯就找到了一类连续函数，它们在每个点都不可导！
这些函数的模样很象现在所说的分形。这些例子刚出来的时候，大家
甚至惶恐得要把它们从函数家族里赶出去。
对待这些问题的态度，应该是从严格的数学定义出发进行推理，而不
是用自己的经验和直觉进行似是而非的“推理”。数学尊重直觉，但
不依赖直觉。写写数学科普小品，可以用拟人的趣味的不是那么严格
的方式，但是前提条件是自己是从数学严格的角度对这个问题已经有
了深刻的思考和了解，否则的话，三绕两绕，大家通通糊涂成一锅粥。
--
我不能看得比其他人远，因为巨人站在我的肩膀上。
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M 作 者: jeter@GZ() 2000-10-12 00:41:23
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Oct 12 00:41:23 2000), 站内信件
接着异调兄说的再胡云几句，不对之处请异调兄多多指正：
在柯西、魏尔斯特拉斯开始把微积分建立在严格的基础之上（主要是以数学
语言明确了极限和连续性概念）后，康托更使数学进入了一个“反直觉”的
新天地，要将微积分建立在集合论的严格基础上，考虑集合的大小——包含
元素的多少，如果两个集合包含相同多元素，称它们是等价的，或等势的、
或基数相同。对于有限集合，可以数数其中元素个数进行比较，而对于无穷
集合，这么做显然不行，不过判断它们是否等价另有一个办法，就是“一一
对应”——如果两个集合中的元素可以按一定规则一一对应起来，那么这两
个集合就是等价的。
出于直觉（还未经集合论熏陶过的直觉:P）很容易想到，奇数集合与偶数集
合是等价的，而自然数集合就比奇数或偶数集合大——是它们的两倍，但是
集合论却指出，自然数集合并不比奇数或偶数集合大，通过建立严格的一一
对应关系，它们同样等价：
自然数集合：1 2 3 4 5 6 ......
奇数集合： 1 3 5 7 9 11 ......
偶数集合： 2 4 6 8 10 12 ......
进而有理数集合与自然数集合也可以建立一一对应关系，它们也等价，称为
可数无穷集；无理数集合、实数集合就不行了。可以说，在数轴上有理数是
“稠密”的，任何两个无理数之间都有无穷多个有理数（当然任何两个有理
数之间也有无穷多个无理数），但有理数更是“稀疏”的，如果我们能够在
数轴上任取一点并判断它是否有理数，那得到有理数的概率几乎为零。
再看看实数集合，考虑一条直线上的点，和线上一个区间内的点，究竟谁多
谁少呢？显然直线上的点比一个区间内的点多无数倍——不幸的是，这里的
“显然”错了。仍旧可以通过一一对应法则判断它们等价，也就是说，它们
包含有同样多的点，甚至，一个平面、一个空间中的点也并不比一条直线或
一个区间上的点多，它们都等价。
对此连康托自己都曾不禁惊叹：“I see it, but I don't believe it!”
不过不管信不信，严格的数学事实就是如此。
数学是一个创造奇迹的世界，我觉得有两本数学科普书的名字非常好：数学
——“确定性的丧失”和“天才引导的历程”，这里的确定性，意思并非指
严格性、准确性，而是指一种“理所当然性”，或许不妨说是“想当然耳的
丧失”。
又及，高中时我在一个同学家看到一本书，伽莫夫的《从一到无穷大》，从
里边第一次领略了集合论的这种反直觉，那本书写得真好，可惜我借了书却
没读完，而且一念之仁又还了回去，痛悔至今。
【 在 eigolomoh (异调) 的大作中提到: 】
: 这个问题没有那么神秘，它的最终答案我已经说过了，就是不存在这
: 么个数学幽灵，或者说“任一数右边不存在第一个有理数，也就是说
: 她找不到她的定居点。”
: ......
--
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作 者: jamduck@GZ() 2000-10-12 00:58:06
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Oct 12 00:58:06 2000), 站内信件
我对数学根本是门外汉，只有一个问题想问一下：一个无理数加上另一个无理数
能得出个有理数吗？加上个有理数呢？
--
欢迎大家光临我的吉他主页,http://jamduck.126.com
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.137.88.4]
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作 者: jeter@GZ() 2000-10-12 01:05:19
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Thu Oct 12 01:05:19 2000), 站内信件
无理数加无理数可以得出有理数，比如(2-sqrt(2)) + sqrt(2)；
无理数加有理数只能得出无理数。
【 在 jamduck (松松) 的大作中提到: 】
: 我对数学根本是门外汉，只有一个问题想问一下：一个无理数加上另一个无理数
: 能得出个有理数吗？加上个有理数呢？
--
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 202.104.137.20]
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-13 12:53:49
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Oct 13 12:53:49 2000), 站内信件
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 接着异调兄说的再胡云几句，不对之处请异调兄多多指正：
: 在柯西、魏尔斯特拉斯开始把微积分建立在严格的基础之上（主要是以数学
: 语言明确了极限和连续性概念）后，康托更使数学进入了一个“反直觉”的
: 新天地，要将微积分建立在集合论的严格基础上，考虑集合的大小——包含
: .......
lim(n→∞)[ n ] = ∞, (1)
lim(n→∞)[ 2n ] = ∞, (2)
它们的势应是相等的，但(1)与(2)的比值为
lim(n→∞)[ n ] / lim(n→∞)[ 2n ]
=lim(n→∞){[ n ]/[2n]}
=lim(n→∞)[n /(2n)]
=lim(n→∞)[1/2]
=1/2,
请问这是为什么？
--
包学行( [email protected] )
※ 修改:．bsese 于 Oct 13 16:01:12 修改本文．[FROM: 61.130.90.216]
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.130.88.196]
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作 者: jeter@GZ() 2000-10-13 22:55:59
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Fri Oct 13 22:55:59 2000), 站内信件
首先无穷大并不是通过极限定义的，而
lim(n→∞)[n] = ∞
也不是一个真正的极限，求两个这种“极限”的比值和比较无穷集合的大小
没有什么关系。其实这个问题要提的话，有价值的是发掘出其中“潜无穷”
与“实无穷”的意义，认识它们的区别。
在我转贴的《无穷研究简史》中对此已经有所说明了，不过关于“潜无穷”
与“实无穷”的问题我还是再简单解释几句，从古希腊乃至19世纪的数学家
们，谈论无穷时并不把无穷当作一个实实在在的对象，而是认为它代表一个
无限的过程，这就是所谓“潜无穷”。从潜无穷的认识出发，是不可能理解
无穷集合的“整体对应于部分”特征的，觉得自然数集合N比偶数集合E要大
一倍似乎也“理所当然”。直到19世纪末，康托第一次提出将无穷集合视为
一个业已完成的实在对象，进而用数学手段研究，可以用“一一对应”这一
基本方法比较无穷集合的大小，虽然得出诸如偶数集合与自然数集合的基数
相同等等“匪夷所思”的结论，不过这一切在数学上是严格的，在逻辑上是
成立的，由此才把现代集合论的基础奠定在严格的数学意义之上，而集合论
也成为现代数学的重要基础。
如果感兴趣请再找介绍得比较详细的书看看，我认为这些对于了解现代数学
思维、建立符合现代数学的“直觉”很有助益。
【 在 bsese (b77 行) 的大作中提到: 】
: lim(n→∞)[ n ] = ∞, (1)
: lim(n→∞)[ 2n ] = ∞, (2)
: 它们的势应是相等的，但(1)与(2)的比值为
: lim(n→∞)[ n ] / lim(n→∞)[ 2n ]
: =lim(n→∞){[ n ]/[2n]}
: =lim(n→∞)[n /(2n)]
: =lim(n→∞)[1/2]
: =1/2,
: 请问这是为什么？
--
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 202.104.137.20]
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作 者: bsese@GZ() 2000-10-16 12:33:32
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标 题: Re: 喜欢有理数的数学幽灵
发信站: 网易虚拟社区 (Mon Oct 16 12:33:32 2000), 站内信件
【 在 jeter (云胡不归) 的大作中提到: 】
: 首先无穷大并不是通过极限定义的，而
: lim(n→∞)[n] = ∞
: 也不是一个真正的极限，求两个这种“极限”的比值和比较无穷
: 集合的大小没有什么关系。其实这个问题要提的话，有价值的是
: 发掘出其中“潜无穷”与“实无穷”的意义，认识它们的区别。
说 lim(n→∞)[n] = ∞ 不是一个真正的极限，是因为该极限
趋向一个∞，它不是一个确定的值。
而在自然数集与偶数集一一对应比较时：
1,2,3,……, n,……
2,4,6,……,2n,……
比较的终点也是不确定的（或不存在的）。
我觉得无穷极限的比值与无穷集合的一一对应比较虽是不同的
方法，但它们之间还是存在某种相关性。
这反应了无穷大集与无穷大量的一种双重性质，即它们既具有
势的性质，又具有值的性质。
--
包学行( [email protected] )
※ 来源:．月光软件站 http://www.moon-soft.com．[FROM: 61.130.87.37]
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