发信人: bsese(b77 行)
整理人: bsese(2001-01-10 12:42:59), 站内信件
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关于存在其它实数系统的论证
包学行
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前段时间对实数方面的争论[*]非常激烈，难解难分，我觉得首先要搞清以下的问题：
一、论证的原则：
定义1 证明路径 一个命题的证明中引用引理的序列称为证明路径，若证明中引用了中间推论，则引理的序列也包含中间推论的证明的引理序列。
论证的原则：在一个公设系统，若一个命题可由某证明路径证明其为真，但可由另一个证明路径证明其非真，则该命题已超越了该公设系统适用范围。
二、标准分析的实数系统的引理：
引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。
引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。
引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。
引理4 有理数集与无理数集的交集为空集。
引理5 若 a 与 b 都为实数，则 (a+b)/2 仍为实数，并a < (a+b)/2 < b，或 b <(a+b)/2 < a 。
三、标准分析的实数系统的推论：
定义2 邻点 一个数点紧相邻的数点称为邻点，一个动点从一个数点移到其邻点不经过其它数点。
推论1 邻点不存在。
证明：
设任取的实数 a 邻点存在，并设邻点为实数 b ，则根据 引理5 有
a < (a+b)/2 < b ，或 b < (a+b)/2 < a ，
一个动点从数点 a 移到 b 要经过点 (a+b)/2 ，所以 b 不是 a 的邻点，因实数 a 是任取的，所以任何实数的邻点都不存在。
证毕。
定义3 无理数连通域 若某二个无理数 w1 与 w2 为界的区间 [w1,w2] 中的数全为无理数，则称该区间为一个无理数连通域，可用该区间上的任一有理数 w 指称该无理数连通域为无理数 w 的连通域；当 w1 = w = w2 时，称所界定的无理数连通域中只有 w 这一个无理数。
定义3 是有各种适应性的，如果无理数 w 有与其它无理数连通，那么有 w1 ≠ w2 的情况存在，如果无理数 w 与任何其它无理数都不存在连通关系，那么就有 w1 = w = w2 的情况存在，并连通域仅存在于该最小的区间 [w,w] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定，定义中并未作限制。
推论2 无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在，即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内，也即无理数 w 与其它无理数不存在连通关系。
证明：
设无理数连通域 [w1，w2] 在 w1 ≠ w2 的情况下存在，那么 w1 与 w2 间就不再有有理数了，这将抵触
“引理2 任何两个无理数间都有无限多个有理数。”
只有当无理数连通域 [w1，w2] 在 w1 = w = w2 的情况下，才不再抵触引理2，所以无理数连通域当且仅当 w1 = w = w2 时存在，即无理数连通域属限于区间 [w,w] 内，也即无理数 w 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论3 邻点存在。
证明：
无理数 w 与其它无理数不存在连通关系，根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
无理数 w 即然不与其它无理数连通，那么它只有先与有理数连通，一个单个的无理数先与有理数连通，显然它的邻点为有理数。
同理可证有理数的邻点为无理数[**]。
所以任何实数的邻点都存在。
证毕。
推论1 与推论3 是等权重的，你可用推论1 来否定推论3 ，也可用推论3 来否定推论1 ，这就使标准分析的实数系统对邻点问题产生了矛盾，根据论证的原则：
在一个公设系统，若一个命题可由某证明路径证明其为真，但可由另一个证明路径证明其非真，则该命题已超越了该公设系统适用范围。
这就说明了邻点问题已超越了标准分析的实数系统的适用范围。
要分析邻点问题，我们必须要建立一个对邻点问题不会产生矛盾的新的实数系统。
[*] 前段时间对实数方面的争论是指：
在网易社区http://knl.gz.163.com/自然科学版老版区的：
[+20] 喜欢有理数的数学幽灵 bsese 10.07 08:42
[+4] 有理数逼近无理数定理如何证明 bsese 10.27 07:41
[+5] 有理数多还是无理数多? BK 11.02 16:26
[+5] 哪位大侠能找到一无理数α bsese 11.08 12:42
[+7] 异调兄请进：关于无理数到底应选哪一个 bsese 11.13 12:40
[+18] 关于实数构造问题 bsese 11.28 13:46
[+4] 包兄请进，实数问题重开一栏 eigolomoh 12.06 19:09
[+6] 关于包学行的实数理论 dropsun 12.09 16:52
以及自然科学版新版式区的:
[+6] 拜托,有谁来证明一下.(芝若悖论) chair_teng 12-25 15:07
等论题。
[**]同理可证有理数的邻点为无理数：
定义4 有理数连通域 若某二个有理数 y1 与 y2 为界的区间 [y1,y2] 中的数全为有理数，则称该区间为一个有理数连通域，可用该区间上的任一有理数 y 指称该有理数连通域为有理数 y 的连通域；当 y1 = y = y2 时，称所界定的连通域中只有 y 这一个有理数。
定义4 是有各种适应性的，如果有理数 y 有与其它有理数连通，那么有 y1 ≠ y2 的情况存在，如果有理数 y 与任何其它有理数都不存在连通关系，那么就有 y1 = y = y2 的情况存在，并连通域仅存在于该最小的区间 [y,y] 中。到底属哪种情况由引理出发,经论证来确定的，定义中并未作限制。
推论2 有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在，即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内，也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证明：
设有理数连通域 [y1，y2] 在 y1 ≠ y2 的情况下存在，那么 y1 与 y2 间就不再有有理数了，这将抵触
“引理1 任何两个有理数间都有无限多个无理数。”
只有当有理数连通域 [y1，y2] 在 y1 = y = y2 的情况下，才不再抵触引理2，所以有理数连通域当且仅当 y1 = y = y2 时存在，即有理数连通域属限于区间 [y,y] 内，也即有理数 y 与其它有理数不存在连通关系。
证毕。
推论4 有理数的邻点为无理数。
证明：
有理数 y 与其它有理数不存在连通关系，根据
“引理3 有理数集与无理数集的并集为完备的实数集。”
有理数 y 即然不与其它有理数连通，那么它只有先与有理数连通，一个单个的有理数先与无理数连通，显然它的邻点为无理数。
证毕。
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包学行( [email protected] )
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